放縮法技巧全總結(jié)非常精辟,是尖子生解決高考數(shù)學最后一題之瓶頸之精華(文件)
【正文】 用二項展開式進行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮： 故有②上述數(shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時是下述試題的背景：已知是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題） 簡析 對第（2）問：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列遞減，且故即。 (2)。 (ii)假設(shè)時,則時, ,所以要證明,只要證明,這是成立的.這就是說當時,不等式也成立,所以,綜上有 探究2.(2008年全國二卷)，都有，求的取值范圍． 解析:因為,所以 設(shè),則, 因為,所以 (i)當時, 恒成立,即,所以當時, 恒成立. (ii)當時,因此當時,不符合題意. (iii)當時,令，則故當時,. , ，當時， 所以綜上有的取值范圍是 變式：若,其中且,求證:.證明：容易得到由上面那個題目知道就可以知道★同型衍變:(2006年全國一卷)已知函數(shù) .若對任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) 1, 求 a的取值范圍. 解析:函數(shù)f (x)的定義域為(∞, 1)∪(1, +∞), 導(dǎo)數(shù)為. (ⅰ) 當0 a≤2時, f (x) 在區(qū)間 (∞, 1) 為增函數(shù), 故對于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) f (0) =1, 因而這時a滿足要求. (ⅱ) 當a2時, f (x) 在區(qū)間 (,)為減函數(shù), 故在區(qū)間(0, ) 內(nèi)任取一點, 比如取, 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) f (0) =1, 因而這時a不滿足要求.(ⅲ) 當a≤0時, 對于任意x∈(0, 1) 恒有 ≥, 這時a滿足要求.綜上可知, 所求 a的取值范圍為 a≤2.。 (ii)假設(shè)當時,則時, 從而,所以 所以綜上有,故 (2)因為則,…, ,相加后可以得到: ,所以,所以 (3)因為,從而,有,所以有 ,從而,所以,所以 所以綜上有. 例61.(2008年陜西省高考試題)已知數(shù)列的首項,． (1)證明:對任意的,。 +b=1,a0,b0,求證：解析: 因為a+b=1,a0,b0,可認為成等差數(shù)列，設(shè)，從而 ，求證.解析: 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證. :. 解析:參見上面的方法,希望讀者自己嘗試!)例42.(2008年北京海淀5月練習) 已知函數(shù)，滿足：①對任意，都有；②對任意都有.（I）試證明：為上的單調(diào)增函數(shù)；（II）求；（III）令，試證明：. 解析:本題的亮點很多,是一道考查能力的好題. (1)運用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性: 因為,所以可以得到, 也就是,不妨設(shè),所以,可以得到,也就是說為上的單調(diào)增函數(shù). (2)此問的難度較大,要完全解決出來需要一定的能力! 首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足,嘗試探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論,一發(fā)現(xiàn)就有思路了! 由(1)可知,令,則可以得到,又,所以由不等式可以得到,又,所以可以得到 ① 接下來要運用迭代的思想: 因為,所以, ② , 在此比較有技巧的方法就是: ,所以可以判斷 ③ 當然,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論,所以還可以列項的方法,把所有項數(shù)盡可能地列出來,然后就可以得到結(jié)論. 所以,綜合①②③有= (3)在解決的通項公式時也會遇到困難. ,所以數(shù)列的方程為,從而, 一方面,另一方面 所以,所以,綜上有.例49. 已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,1]，且滿足下列條件：① 對于任意[
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