數(shù)列習題課(一)(文件)
【正文】 n＋1＝2(an－5n).②由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，則＝2，則數(shù)列{an－5n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n.類型三 利用前n項和Sn與an 的關(guān)系求通項公式例4 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，則an等于( )＋1 －1 －2考點 an與Sn關(guān)系題點 由Sn與an遞推式求通項答案 A解析 因為Sn＝2an－4，所以Sn－1＝2an－1－4，兩式相減可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，即＝2，因為S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以數(shù)列{an}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則an＝42n－1＝2n＋1，故選A.反思與感悟 已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)解題步驟：第一步 利用Sn滿足條件p，寫出當n≥2時，Sn－1的表達式；第二步 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式；第三步 若求出n≥2時的{an}的通項公式，則根據(jù)a1＝S1求出a1，并代入{an}的通項公式進行驗證，若成立，則合并；若不成立，{an}的遞推公式，則問題化歸為類型二.跟蹤訓練4 在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項an.考點 an與Sn關(guān)系題點 由Sn與an遞推式求通項解 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，兩式作差得nan＝an＋1－an，得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即數(shù)列{nan}從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故當n≥2時，nan＝2…a4＝a22n－1＝.即an＝.{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－3an(n∈N*).(1)求a3，a4的值；(2)證明：數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列；(3)求數(shù)列{an}的通項公式.考點 遞推數(shù)列通項公式求法題點 一階線性遞推數(shù)列(1)解 a3＝4a2－3a1＝13，a4＝4a3－3a2＝40.(2)證明 ∵an＋2＝4an＋1－3an，∴an＋2－an＋1＝3(an＋1－an).又a1＝1，a2＝4，∴＝3，則{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項，3為公比的等比數(shù)列.(3)解 由(2)得an＋1－an＝3n，則當n≥2時，an－an－1＝3n－1，故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝＝.又a1＝1適合上式，故an＝，n∈N*.。n－1，∴Sn＝4－an－＝4－n2＝2n－1，∴an＝.{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，則an等于( )＋ln n ＋(n－1)ln n＋nln n ＋n＋ln n考點 遞推數(shù)列通項公式求法題點 an＋1＝pan＋f(n)型答案 A解析 由an＋1＝an＋ln得an＋1－an＝ln＝ln ，∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝ln ＋ln ＋…＋ln ＝ln ＝ln n，即an－a1＝ln n，an＝ln n＋2.{an}的首項為a1＝1，且滿足a
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