彈性力學平面問題(9-10)(文件)
【正文】 （幾何特點、受力特點、應力或應變特點） 3. 平面問題的求解 （ 1） 按位移求解平面問題 （ 2） 按應力求解平面問題 基本方程： （ 1）用位移表示的平衡微分方程； （ 2）用位移表示的應力邊界條件； （ 3）邊界條件：應力、位移邊界條件。 （ 2） 半逆解法 （ 1） 根據(jù)問題的條件 （幾何形狀、受力特點、邊界條件等）， 假設部分應力分量 的某種函數(shù)形式 ； （ 2） 根據(jù) 與應力函數(shù) φ(x,y)的關系及 ，求出 φ(x,y) 的形式； （ 3） 最后利用式（ 226）計算出 并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。 相容方程的應力函數(shù)表示 將式（ 226）代入常體力下的相容方程： (225) 有： 注意到體力 fx、 fy 為常量，有 將上式展開，有 (227) —— 應力函數(shù)表示的相容方程 給出了應力函數(shù)滿足的條件。 由微分方程理論，必存在一函數(shù) φ(x,y)，使得 (i) (j) 將式 (i)、 (j) 代入 (e)、 (f)、 (g)、(h)，得通解 同理，將式 (d)第二式改寫為 (g) (h) 比較式 ( f )與 (h)，有 也必存在一函數(shù) B(x,y)，使得 由微分方程理論，必存在一函數(shù) φ(x,y)，使得 (k) (2) 通解 式 (a) 的齊次方程： (d) 的通解： (k) —— 對應于平衡微分方程的齊次方程通解。 （ 2） ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS 常體力下問題的基本方程： 邊界條件、位移單值條件。 。 原問題： 體力： 邊界面力： 所求應力： A B C F D E h h (b) ph 2ph 變換后的問題： 體力： 邊界面力： (1) 當 y = 0 時， (2) 當 y = –h 時， (3) 當 y = –2h 時， 所求得的應力： 原問題的應力 常體力下體力與面力轉換的優(yōu)點（好處）： 原問題的求解方程 變換后問題的求解方程 常體力問題 無體力問題 作用： (1) 方便分析計算（齊次方程易求解）。 —— 光彈性實驗原理。 y方向力等效： 對 O點的力矩等效： x方向力等效： y?yx?注意： 必須按正向假設！ ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS 常體力下平面問題的相容方程 令： —— 拉普拉斯（ Laplace）算子 則相容方程可表示為： —— 平面應力情形 —— 平面應變情形 當體力 X、 Y 為常數(shù)時，兩種平面問題的相容方程相同，即 或 （ 225） 常體力下平面問題的基本方程 （ 1）平衡方程 （ 22） （ 2）相容方程（形變協(xié)調方程） （ 3）邊界條件 （ 218） （ 4）位移單值條件 —— 對多連通問題而言。 式（ a）滿足相容方程。 （ 1） （ 2） （ a） （ b） （ 2） 解 將式（ b）代入應變表示的相容方程： 式（ b）滿足相容方程， ∴ （ b）為可能的應變分量。 （ 3）對多連通問題，滿足上述方程外，還需滿足
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