蘇科版八級上勾股定理的逆定理同步練習(xí)含答案(文件)
【正文】 數(shù)是 2 7+1=15， 2 7 （ 7+1） =112， 2 7 （ 7+1） +1=113，即 15， 112，113． 故答案為： 15， 112， 113． 【點(diǎn)評】 此題考查的知識點(diǎn)是勾股數(shù)，屬于規(guī)律性題目，關(guān)鍵是通過觀察找出規(guī)律求解． 12．如圖所示，在 △ ABC 中， AB： BC： CA=3： 4： 5，且周長為 36cm，點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始沿 AB 邊向 B 點(diǎn)以每秒 1cm 的速度移動(dòng)；點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 沿 BC 邊向點(diǎn) C 以每秒 2cm 的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過 3 秒時(shí)， △ BPQ 的面積為 18 cm2． 【分析】 首先設(shè) AB 為 3xcm， BC 為 4xcm， AC 為 5xcm，利用方程求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出 3 秒后的， BP， BQ 的長，利用三角形的面積公式計(jì)算求解． 【解答】 解：設(shè) AB 為 3xcm， BC 為 4xcm， AC 為 5xcm， ∵ 周長為 36cm， AB+BC+AC=36cm， ∴ 3x+4x+5x=36， 解得 x=3， ∴ AB=9cm， BC=12cm， AC=15cm， ∵ AB2+BC2=AC2， ∴△ ABC 是直角三角形， 過 3 秒時(shí)， BP=9﹣ 3 1=6（ cm）， BQ=2 3=6（ cm）， ∴ S△ PBQ= BP?BQ= （ 9﹣ 3） 6=18（ cm2）． 故答案為： 18． 【點(diǎn)評】 此題主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面積．由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關(guān)鍵． 第 9 頁（共 14 頁） 13．三角形的三邊分別為 a， b， c，且（ a﹣ b） 2+（ a2+b2﹣ c2） 2=0，則三角形的形狀為 等腰直角三角形 ． 【分析】 由于（ a﹣ b） 2+（ a2+b2﹣ c2） 2=0，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得 a=b，且 a2+b2=c2，根據(jù)等腰三角形的定義以及勾股定理的逆定理可得以 a， b， c 為邊的三角形是等腰直角三角形． 【解答】 解： ∵ （ a﹣ b） 2+（ a2+b2﹣ c2） 2=0， ∴ a﹣ b=0，且 a2+b2﹣ c2=0， ∴ a=b，且 a2+b2=c2， ∴ 以 a， b， c 為邊的三角形是等腰直角三角形． 故答案為等腰直角三角形． 【點(diǎn)評】 本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長 a， b， c 滿足 a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定義以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)． 14．所謂的勾股數(shù)就是指使等式 a2+b2=c2 成立的任何三個(gè)正整數(shù)．我國清代數(shù)學(xué)家羅士林鉆研出一種求勾股數(shù)的方法，對于任意正整數(shù) m、 n（ m＞ n），取 a=m2﹣ n2， b=2mn， c=m2+n2，則 a、 b、 c 就是一組勾股數(shù)．請你結(jié)合這種方法，寫出 85（三個(gè)數(shù)中最大）、 84 和 13 組成一組勾股數(shù)． 【分析】 根據(jù)勾股數(shù)的定義可得要求的數(shù)是 852﹣ 842，再進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】 解： ∵ 852﹣ 842=132， ∴ 85（三個(gè)數(shù)中最大）、 84 和 13 組成一組勾股數(shù)． 故答案為： 13． 【點(diǎn)評】 此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義及勾股定理的逆定理： 已知△ ABC 的三邊滿足 a2+b2=c2，則 △ ABC 是直角三角形． 三．解答題（共 8 小題） 15．一個(gè)零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得 AB=3， BC=4， AC=5， CD=12， AD=13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？ 【分析】 由勾股定理逆定理可得 △ ACD 與 △ ABC 均為直角三角形，進(jìn)而可求解其面積． 【解答】 解： ∵ 42+32=52， 52+122=132， 即 AB2+BC2=AC2，故 ∠ B=90176。 DB=4，再利用勾股定理逆定理證明 △ BDC 是直角三角形，進(jìn)而可得答案； （ 2）過 B 作 BE⊥ AD，利用三角形函數(shù)計(jì)算出 BE 長，再利用 △ ABD 的面積加上 △ BDC的面積可得四邊形 ABCD 的面積． 【解答】 解：（ 1）連接 BD， ∵ AB=AD， ∠ A=60176。+90176。=4 =2 ， ∴ 四邊形 ABCD 的面積為： AD?EB+ DB?CD= 4 + 4 8=4 +16． 【點(diǎn)評】 此題主要考查了勾股定理逆定理，以及等邊三角形的判定和性 質(zhì)，關(guān)鍵是掌握有一個(gè)角是 60176。方向航行，另一艘艦艇在同時(shí)以 12 海里 /時(shí)的速度向北偏西一定角度的航向行駛，已知它們離港口一個(gè)半小時(shí)后相距 30 海里，問另一艘艦艇的航行方向是北偏西多少度？ 第 14 頁（共 14 頁） 【分析】 根據(jù)勾股定理的逆定理判斷 △ AOB 是直角三角形，求出 ∠ BOD 的度數(shù)即可． 【解答】 解：由題意得， OB=12 =18 海里 ， OA=16 =24 海里 ， 又 ∵ AB=30 海里 ， ∵ 182+242=302， 即 OB2+OA2=AB2 ∴∠ AOB=90176。． 【點(diǎn)評】 本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用和方位角的知識，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵． 22．張老師在一次 “探究性學(xué)習(xí) ”課中，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表： n 2 3 4 5 … a 22﹣ 1 32﹣ 1 42﹣ 1 52﹣ 1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （ 1）請你分別觀察 a， b， c 與 n 之間的關(guān)系，并用含自然數(shù) n（ n＞ 1）的代數(shù)式表示： a= n2﹣ 1 ， b= 2n ， c= n2+1 ； （ 2）猜想：以 a， b， c 為邊的三角形 是否為直角三角形并證明你的猜想． 【分析】 （ 1）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，觀察 a， b， c 與 n 之間的關(guān)系，可直接寫出答案； （ 2）分別求出 a2+b2， c2，比較即可． 【解答】 解：（ 1）由題意有： n2﹣ 1， 2n， n2+1； （ 2）猜想為：以 a， b， c 為邊的三角形是直角三角形． 證明： ∵ a=n2﹣ 1， b=2n； c=n2+1 ∴ a2+b2=（ n2﹣ 1） 2+（ 2n） 2=n4﹣ 2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（ n2+1） 2 而 c2=（ n2+1） 2 ∴ 根據(jù)勾股定理的逆定理可知以 a， b， c 為邊的三角形是直角三角形． 【點(diǎn)評】 本題需仔細(xì)觀察表中的數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，利用勾股定理的逆定理即可解決問題． 。 ∴∠ BOD=50176。． ②若 DE=3， BD=4，求 AE 的長． 第 11 頁（共 14 頁） 【分析】 （ 1）連接 CE，由線段
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