【正文】 D） 【解答】 如圖， 和 分別是雙曲線(xiàn) 的兩個(gè)焦點(diǎn)， 和 是以 為圓心，以 為半徑的圓與該雙曲線(xiàn)左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△ 是等邊三角形，連接 AF1，∠ AF2F1=30176。 6（安徽文）設(shè) F是拋物線(xiàn) G:x2=4y的焦點(diǎn) . （Ⅰ）過(guò)點(diǎn) P（ 0， 4）作拋物線(xiàn) G的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程： （Ⅱ）設(shè) A、 B為勢(shì)物線(xiàn) G上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足 ,延長(zhǎng) AF、 BF分別交拋物線(xiàn) G于點(diǎn) C,D，求四邊形 ABCD 面積的最小值 . 【解答】 本小題主要考查拋物線(xiàn)的方程與性質(zhì)，拋物線(xiàn)的切點(diǎn)與焦點(diǎn)，向量的數(shù)量積，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，平均不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． 解：（ I）設(shè)切點(diǎn) ．由 ，知拋物線(xiàn)在 點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為 ，故所求切線(xiàn)方程為 ． 即 ． 因?yàn)辄c(diǎn) 在切線(xiàn)上． 所以 ， ， ． 所求切線(xiàn)方程為 ． （ II）設(shè) ， ． 由題意知，直線(xiàn) 的斜率 存在，由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè) ． 因直線(xiàn) 過(guò)焦點(diǎn) ，所以直線(xiàn) 的方程為 ． 點(diǎn) 的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組 得 ， 由根與系數(shù)的關(guān)系知 ． 因?yàn)?，所以 的斜率為 ，從而 的方程為 ． 同理可求得 ． ． 當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立．所以，四邊形 面積的最小值為 ． 。 6（安徽理）如圖，拋物線(xiàn) y=x2+1與 x軸的正半軸交于點(diǎn) A，將線(xiàn)段 OA的 n等分點(diǎn)從左至右依次記為 P1,P2,? ,Pn1,過(guò)這些分點(diǎn)分別作 x軸的垂線(xiàn)，與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)依次為 Q1，Q2，?， Qn1， 從而得到 n1個(gè)直角三角形△ Q1OP1, △ Q2P1P2,? , △ Qn1Pn1Pn1,當(dāng) n→∞時(shí)，這些三角形的面積之和的極限為 . 【解答】 如圖，拋物線(xiàn) y=－ x2+1與 x軸的正半軸交于點(diǎn) A(1， 0)，將線(xiàn)段 OA的 n等分點(diǎn)從左至右依次記為 P1,P2,?, Pn－ 1,過(guò)這些分點(diǎn)分別作 x軸的垂線(xiàn)，與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)依次為 Q1，Q2， ? ， Qn－ 1，從而得到 n－ 1個(gè)直角三角形△ Q1OP1, △ Q2P1P2,?, △ Qn－ 1Pn－ 2Pn－ 1, ∴ ， ， ，當(dāng) n→∞ 時(shí)，這些三角形的面積之和的極限為 . 整理得 = 。 的離心率 e=2，則 m=____. 答案： 48. 解析：根據(jù)雙曲線(xiàn)方程： 知， ，并在雙曲線(xiàn)中有： ，離心率 e= =2 = , m=48 19.(本小題滿(mǎn)分 12分） 已知過(guò)拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)，斜率為 的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 （ ）兩點(diǎn)，且 ． （ 1）求該拋物線(xiàn)的方程； （ 2） 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若 ，求 的值． 解析：（ 1）直線(xiàn) AB 的方程是 所以： ，由拋物線(xiàn)定義得： ，所以 p=4， 拋物線(xiàn)方程為： （ 2） 、由 p=4， 化簡(jiǎn)得 ，從而 ,從而 A:(1, ),B(4, ) 設(shè) = ，又 ，即 8（ 4 ），即 ，解得 。又∠ PMB=∠ BNO，所以 ON∥ MP，所以 ON∥ y軸，則 N 點(diǎn)在 y 軸上，又 BF 為△ PMO 中位線(xiàn)，∴ BF∥ OM，則 OM∥ OA，所以 M 點(diǎn)在 x 軸上。對(duì)直線(xiàn)截距式方程認(rèn)識(shí)不明確，認(rèn)識(shí)不到三類(lèi)特殊直線(xiàn)不能用截距式方程表示；對(duì)圓上的整數(shù)點(diǎn)探索不準(zhǔn)確，或分類(lèi)不明確，都會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，胡亂選擇。 易錯(cuò)點(diǎn)：由于畏懼心理而胡亂選擇，不能將幾何條件有機(jī)聯(lián)系轉(zhuǎn)化，缺乏消元意識(shí)。（ 4分） 【解答】 （ 1） 設(shè)過(guò) C 點(diǎn)的直線(xiàn)為 ，所以 ，即 ，設(shè) A ， = ， ，因?yàn)?，所以 ，即 ， 所以 ，即 所以 （ 2）設(shè)過(guò) Q的切線(xiàn)為 ， ，所以 ，即，它與 的交點(diǎn)為 M ，又，所以 Q ，因?yàn)?,所以 ，所以M ,所以點(diǎn) M和點(diǎn) Q重合，也就是 QA為此拋物線(xiàn)的切線(xiàn)。 2（全國(guó) 2文）設(shè) 分別是雙曲線(xiàn) 的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn) 在雙曲線(xiàn)上，且 ，則 （ ） A． B． C． D． 【解答】 設(shè) 分別是雙曲線(xiàn) 的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn) 在雙曲線(xiàn)上，且 ，則 = ，選 B。 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線(xiàn)（四） 2（山東理）（本小題滿(mǎn)分 12分）已知橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，橢圓 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 ，最小值為 ． （Ⅰ）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線(xiàn) 與橢圓 相交于 ， 兩點(diǎn)（ 不是左右頂點(diǎn)），且以 為直徑的圓過(guò)橢圓 的右頂點(diǎn)，求證： 直線(xiàn) 過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解答】 (I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， (II)設(shè) ，由 得 ， ， . 以 AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn) ， ， ， ， ，解得 ，且滿(mǎn)足 . 當(dāng) 時(shí)， ，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) 與已知矛盾； 當(dāng) 時(shí)， ，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) 綜上可知，直線(xiàn) 過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 2（全國(guó) 2理）設(shè) 分別是雙曲線(xiàn) 的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn) ，使 且 ，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ B ） A． B． C． D． 【解答】 設(shè) F1， F2 分別是雙曲線(xiàn) 的左、右焦點(diǎn)。 （ 1）若三角形 是邊長(zhǎng)為 1的等邊三角形，求“果圓”的方程； （ 2）若 ，求 的取值范圍； （ 3）一條直線(xiàn)與果圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的連線(xiàn)段稱(chēng)為果圓的弦。 （浙江理）已知雙曲線(xiàn) 的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ， 是準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，且 ， ，則雙曲線(xiàn)的離心率是（ B ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【分析】 ：設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與 x 軸交于 A 點(diǎn) . 在 中 , , 又 , 化簡(jiǎn)得 , 故選答案 B （天津文）設(shè)雙曲線(xiàn) 的離心率為 ，且它的一條準(zhǔn)線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)重合，則此雙曲線(xiàn)的方程為（ D ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】∵拋物線(xiàn) 的準(zhǔn)線(xiàn)為 ,故有 ① 又∵雙曲線(xiàn) 的離心率為 ,故有 : ② , ① ②得到 ,進(jìn)而求出 , ∴雙曲線(xiàn)的方程為 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線(xiàn)（二） （天津文）（本小題滿(mǎn)分 14 分）設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 是橢圓上的一點(diǎn)， ，原點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離為 ． （Ⅰ）證明 ； （Ⅱ）求 使得下述命題成立：設(shè)圓 上任意點(diǎn) 處的切線(xiàn)交橢圓于 ，兩點(diǎn)，則 ． 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)方程、兩條直線(xiàn)垂直、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線(xiàn)和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．滿(mǎn)分 14 分． （Ⅰ）證法一：由題設(shè) 及 ， ，不妨設(shè)點(diǎn) ，其中 ，由于點(diǎn) 在橢圓上，有 ， ， 解得 ，從而得到 ， 直線(xiàn) 的方程為 ，整理得 ． 由題設(shè)，原點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離為 ，即 ， 將 代入原式并化簡(jiǎn)得 ，即 ． 證法二：同證法一，得 到點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為 ，易知 ，故 由橢圓定義得 ，又 ，所以 ， 解得 ，而 ，得 ，即 ． （Ⅱ）解法一：圓 上的任意點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程為 ． 當(dāng) 時(shí)，圓 上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn) 處的切線(xiàn)必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn) 和 ，因此點(diǎn) ， 的坐標(biāo)是方程組 的解．當(dāng) 時(shí)，由①式得 代入②式，得 ，即 ， 于是 ， ． 若 ，則 ． 所以， ．由 ，得 ．在區(qū)間 內(nèi)此方程的解為． 當(dāng) 時(shí)，必有 ，同理求得在區(qū)間 內(nèi)的解為 ． 另一方面，當(dāng) 時(shí)，可推出 ，從而 ． 綜上所述， 使得所述命題成立． （天津理）（本小題滿(mǎn)分 14 分） 設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 是橢圓上的一點(diǎn)， ，原點(diǎn)到直線(xiàn) 的距離為 ． （Ⅰ）證明 ； （Ⅱ）設(shè) 為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， ，過(guò)原點(diǎn) 作直線(xiàn) 的垂線(xiàn) ，垂足為 ，求點(diǎn) 的軌跡方程． 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)方程、求曲線(xiàn)的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線(xiàn)和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．滿(mǎn) 分 14 分． （Ⅰ）證法一：由題設(shè) 及 ， ，不妨設(shè)點(diǎn) ，其中 ．由于點(diǎn)在橢圓上，有 ，即 ． 解得 ，從而得到 ． 直線(xiàn) 的方程為 ，整理得 ． 由題設(shè)，原點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離為 ，即 ， 將 代入上式并化簡(jiǎn)得 ，即 ． 證法二：同證法一，得到點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ． 過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為 ，易知 ，故 ． 由橢圓定義得 ，又 ， 所以 ， 解得 ，而 ，得 ，即 ． （Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ． 當(dāng) 時(shí)，由 知 ， 直 線(xiàn) 的斜率為 ， 所 以 直 線(xiàn) 的方程為，或 ，其中 ， ． 點(diǎn) 的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組 將①式代入②式，得 ， 整理得 ， 于是 ， ． 由①式得 ． 由 知 ．將③式和④式代入得 ， ． 將 代入上式，整理得 ． 當(dāng) 時(shí)，直線(xiàn) 的方程為 ， 的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組 所以 ， ． 由 知 ，即 ， 解得 ． 這時(shí)，點(diǎn) 的坐標(biāo)仍滿(mǎn)足 ． 綜上，點(diǎn) 的軌跡方程為 ． 解法二：設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，直線(xiàn) 的方程為 ，由 ，垂足為 ，可知直線(xiàn) 的方程為 ． 記 （顯然 ），點(diǎn) 的坐標(biāo)滿(mǎn)足 方程組 由①式得 ． ③ 由②式得 ． ④ 將③式代入④式得 ． 整理得 ， 于是 ． ⑤ 由①式得 ． ⑥ 由②式得 ． ⑦ 將⑥式代入⑦式得 ， 整理得 ， 于是 ． ⑧ 由 知 ．將⑤式和⑧式代入得 ， ． 將 代入上式，得 ． 所以，點(diǎn) 的軌跡方程為 ．