【正文】 D） 【解答】 如圖， 和 分別是雙曲線 的兩個焦點(diǎn)， 和 是以 為圓心，以 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點(diǎn)，且△ 是等邊三角形，連接 AF1，∠ AF2F1=30176。 6（安徽文）設(shè) F是拋物線 G:x2=4y的焦點(diǎn) . （Ⅰ）過點(diǎn) P（ 0， 4）作拋物線 G的切線，求切線方程： （Ⅱ）設(shè) A、 B為勢物線 G上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足 ,延長 AF、 BF分別交拋物線 G于點(diǎn) C,D，求四邊形 ABCD 面積的最小值 . 【解答】 本小題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)，拋物線的切點(diǎn)與焦點(diǎn)，向量的數(shù)量積，直線與拋物線的位置關(guān)系，平均不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析問題、解決問題的能力． 解：（ I）設(shè)切點(diǎn) ．由 ，知拋物線在 點(diǎn)處的切線斜率為 ，故所求切線方程為 ． 即 ． 因為點(diǎn) 在切線上． 所以 ， ， ． 所求切線方程為 ． （ II）設(shè) ， ． 由題意知，直線 的斜率 存在，由對稱性，不妨設(shè) ． 因直線 過焦點(diǎn) ，所以直線 的方程為 ． 點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足方程組 得 ， 由根與系數(shù)的關(guān)系知 ． 因為 ，所以 的斜率為 ，從而 的方程為 ． 同理可求得 ． ． 當(dāng) 時，等號成立．所以，四邊形 面積的最小值為 ． 。 6（安徽理）如圖，拋物線 y=x2+1與 x軸的正半軸交于點(diǎn) A，將線段 OA的 n等分點(diǎn)從左至右依次記為 P1,P2,? ,Pn1,過這些分點(diǎn)分別作 x軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次為 Q1，Q2，?， Qn1， 從而得到 n1個直角三角形△ Q1OP1, △ Q2P1P2,? , △ Qn1Pn1Pn1,當(dāng) n→∞時，這些三角形的面積之和的極限為 . 【解答】 如圖，拋物線 y=－ x2+1與 x軸的正半軸交于點(diǎn) A(1， 0)，將線段 OA的 n等分點(diǎn)從左至右依次記為 P1,P2,?, Pn－ 1,過這些分點(diǎn)分別作 x軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次為 Q1，Q2， ? ， Qn－ 1，從而得到 n－ 1個直角三角形△ Q1OP1, △ Q2P1P2,?, △ Qn－ 1Pn－ 2Pn－ 1, ∴ ， ， ，當(dāng) n→∞ 時，這些三角形的面積之和的極限為 . 整理得 = 。 的離心率 e=2，則 m=____. 答案： 48. 解析：根據(jù)雙曲線方程： 知， ，并在雙曲線中有： ，離心率 e= =2 = , m=48 19.(本小題滿分 12分） 已知過拋物線 的焦點(diǎn)，斜率為 的直線交拋物線于 （ ）兩點(diǎn)，且 ． （ 1）求該拋物線的方程； （ 2） 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為拋物線上一點(diǎn)，若 ，求 的值． 解析：（ 1）直線 AB 的方程是 所以： ，由拋物線定義得： ，所以 p=4， 拋物線方程為： （ 2） 、由 p=4， 化簡得 ，從而 ,從而 A:(1, ),B(4, ) 設(shè) = ，又 ，即 8（ 4 ），即 ，解得 。又∠ PMB=∠ BNO，所以 ON∥ MP，所以 ON∥ y軸，則 N 點(diǎn)在 y 軸上，又 BF 為△ PMO 中位線，∴ BF∥ OM，則 OM∥ OA，所以 M 點(diǎn)在 x 軸上。對直線截距式方程認(rèn)識不明確，認(rèn)識不到三類特殊直線不能用截距式方程表示；對圓上的整數(shù)點(diǎn)探索不準(zhǔn)確，或分類不明確，都會導(dǎo)致錯誤，胡亂選擇。 易錯點(diǎn)：由于畏懼心理而胡亂選擇，不能將幾何條件有機(jī)聯(lián)系轉(zhuǎn)化，缺乏消元意識。（ 4分） 【解答】 （ 1） 設(shè)過 C 點(diǎn)的直線為 ，所以 ，即 ，設(shè) A ， = ， ，因為 ，所以 ，即 ， 所以 ，即 所以 （ 2）設(shè)過 Q的切線為 ， ，所以 ，即，它與 的交點(diǎn)為 M ，又，所以 Q ，因為 ,所以 ，所以M ,所以點(diǎn) M和點(diǎn) Q重合，也就是 QA為此拋物線的切線。 2（全國 2文）設(shè) 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn) 在雙曲線上，且 ，則 （ ） A． B． C． D． 【解答】 設(shè) 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn) 在雙曲線上，且 ，則 = ，選 B。 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（四） 2（山東理）（本小題滿分 12分）已知橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，橢圓 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 ，最小值為 ． （Ⅰ）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線 與橢圓 相交于 ， 兩點(diǎn)（ 不是左右頂點(diǎn)），且以 為直徑的圓過橢圓 的右頂點(diǎn)，求證： 直線 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解答】 (I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， (II)設(shè) ，由 得 ， ， . 以 AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn) ， ， ， ， ，解得 ，且滿足 . 當(dāng) 時， ，直線過定點(diǎn) 與已知矛盾； 當(dāng) 時， ，直線過定點(diǎn) 綜上可知，直線 過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 2（全國 2理）設(shè) 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn) ，使 且 ，則雙曲線的離心率為（ B ） A． B． C． D． 【解答】 設(shè) F1， F2 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)。 （ 1）若三角形 是邊長為 1的等邊三角形，求“果圓”的方程； （ 2）若 ，求 的取值范圍； （ 3）一條直線與果圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的連線段稱為果圓的弦。 （浙江理）已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ， 是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且 ， ，則雙曲線的離心率是（ B ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【分析】 ：設(shè)準(zhǔn)線與 x 軸交于 A 點(diǎn) . 在 中 , , 又 , 化簡得 , 故選答案 B （天津文）設(shè)雙曲線 的離心率為 ，且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為（ D ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【解析】∵拋物線 的準(zhǔn)線為 ,故有 ① 又∵雙曲線 的離心率為 ,故有 : ② , ① ②得到 ,進(jìn)而求出 , ∴雙曲線的方程為 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（二） （天津文）（本小題滿分 14 分）設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 是橢圓上的一點(diǎn)， ，原點(diǎn) 到直線 的距離為 ． （Ⅰ）證明 ； （Ⅱ）求 使得下述命題成立：設(shè)圓 上任意點(diǎn) 處的切線交橢圓于 ，兩點(diǎn)，則 ． 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．滿分 14 分． （Ⅰ）證法一：由題設(shè) 及 ， ，不妨設(shè)點(diǎn) ，其中 ，由于點(diǎn) 在橢圓上，有 ， ， 解得 ，從而得到 ， 直線 的方程為 ，整理得 ． 由題設(shè)，原點(diǎn) 到直線 的距離為 ，即 ， 將 代入原式并化簡得 ，即 ． 證法二：同證法一，得 到點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 過點(diǎn) 作 ，垂足為 ，易知 ，故 由橢圓定義得 ，又 ，所以 ， 解得 ，而 ，得 ，即 ． （Ⅱ）解法一：圓 上的任意點(diǎn) 處的切線方程為 ． 當(dāng) 時，圓 上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn) 處的切線必交橢圓于兩個不同的點(diǎn) 和 ，因此點(diǎn) ， 的坐標(biāo)是方程組 的解．當(dāng) 時，由①式得 代入②式，得 ，即 ， 于是 ， ． 若 ，則 ． 所以， ．由 ，得 ．在區(qū)間 內(nèi)此方程的解為． 當(dāng) 時，必有 ，同理求得在區(qū)間 內(nèi)的解為 ． 另一方面，當(dāng) 時，可推出 ，從而 ． 綜上所述， 使得所述命題成立． （天津理）（本小題滿分 14 分） 設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 是橢圓上的一點(diǎn)， ，原點(diǎn)到直線 的距離為 ． （Ⅰ）證明 ； （Ⅱ）設(shè) 為橢圓上的兩個動點(diǎn)， ，過原點(diǎn) 作直線 的垂線 ，垂足為 ，求點(diǎn) 的軌跡方程． 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．滿 分 14 分． （Ⅰ）證法一：由題設(shè) 及 ， ，不妨設(shè)點(diǎn) ，其中 ．由于點(diǎn)在橢圓上，有 ，即 ． 解得 ，從而得到 ． 直線 的方程為 ，整理得 ． 由題設(shè)，原點(diǎn) 到直線 的距離為 ，即 ， 將 代入上式并化簡得 ，即 ． 證法二：同證法一，得到點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ． 過點(diǎn) 作 ，垂足為 ，易知 ，故 ． 由橢圓定義得 ，又 ， 所以 ， 解得 ，而 ，得 ，即 ． （Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ． 當(dāng) 時，由 知 ， 直 線 的斜率為 ， 所 以 直 線 的方程為，或 ，其中 ， ． 點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足方程組 將①式代入②式，得 ， 整理得 ， 于是 ， ． 由①式得 ． 由 知 ．將③式和④式代入得 ， ． 將 代入上式，整理得 ． 當(dāng) 時，直線 的方程為 ， 的坐標(biāo)滿足方程組 所以 ， ． 由 知 ，即 ， 解得 ． 這時，點(diǎn) 的坐標(biāo)仍滿足 ． 綜上，點(diǎn) 的軌跡方程為 ． 解法二：設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，直線 的方程為 ，由 ，垂足為 ，可知直線 的方程為 ． 記 （顯然 ），點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足 方程組 由①式得 ． ③ 由②式得 ． ④ 將③式代入④式得 ． 整理得 ， 于是 ． ⑤ 由①式得 ． ⑥ 由②式得 ． ⑦ 將⑥式代入⑦式得 ， 整理得 ， 于是 ． ⑧ 由 知 ．將⑤式和⑧式代入得 ， ． 將 代入上式，得 ． 所以，點(diǎn) 的軌跡方程為 ．