【正文】 ??? ? ? ? ?解 將 及 代 入 所 給 方 程 左 端 得? ? ? ? ? ?2 1 2 1 210x x xx C e x C C e C x C e? ? ? ? ? ?? ?12 10xy C x C e x y x y y?? ?? ? ? ? ? ? ?是 微 分 方 程 的 解12 xy C x C e??又中含有兩個(gè)任意常數(shù)，而所給方程又是二階的， 12 xy C x C e? ? ? 是 所 給 方 程 的 通 解 .20 1 1 。r p r q? ? ?第二步 求出特征方程的兩個(gè)根 r1及 r2 。 （ 2 ） 當(dāng)6%r ?, 010000A ?元時(shí) , 算出 1 年后 , 本息合計(jì)( 1 )A分別為多少 ? （ 3 ） 連續(xù)復(fù)合時(shí) , 總金額()At所滿足的微分方程 . . 3 關(guān)于未來預(yù)測(cè)方面 例 在某池塘內(nèi)養(yǎng)魚 , 該池塘內(nèi)最多能養(yǎng) 1000 尾 , 設(shè)在t時(shí)刻該池塘內(nèi)魚數(shù)為()yt是時(shí)間t（月）的函數(shù) , 其變化率與魚數(shù)y及1000 y?的乘積成正比（比例常數(shù)為0k ?） . 已知在池塘內(nèi)放養(yǎng)魚 1 00尾 , 3 個(gè)月后池塘內(nèi)有魚 25 0 尾 , 試求 : （ 1 ）在 t 時(shí)刻池塘內(nèi)魚數(shù)()yt的計(jì)算公式 。 （ 2 ）求當(dāng)價(jià)格為 1 元時(shí) , 市場(chǎng)對(duì)該商品的需求量 。 求降落傘下落速度與時(shí)間的函 數(shù)關(guān)系 . 解 設(shè) 降落傘下落速度為 v(t)時(shí)傘所受空氣阻力為 k （ 負(fù)號(hào)表示阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反 （ k為常數(shù) ） 傘在下降過程中還受重力 P = mg作用， 由牛頓第二定律得 0 0tdvm m g k v vdt ?? ? ?且于是所給問題歸結(jié)為求解初值問題 0 0tdvm m g k vdtv ?? ????? ??d v d tm g k v m??分 離 變 量 得 , d v d tm g k v m????兩 邊 積 分 得11 ln tm g k v Ckm? ? ? ?11,k tkCmmgv C e C ekk? ???? ? ?????整 理 得00,m g m gC e Ckk? ? ?由 初 始 條 件 得 , 即1k tmmgvek????? ????故 所 求 特 解 為 由此可見，隨著 t的增大，速度趨于常數(shù) mg/k，但不會(huì)超過 mg/k，這說明跳傘后，開始階段是加速運(yùn)動(dòng)，以后逐漸趨于勻 速運(yùn)動(dòng) . 一階線性微分方程 一階線性微分方程 1．定義： 形如 ? ? ? ? ( 1 )dy P x y Q xdx ?? 的方程 ， 稱為一階線性微分方程 ， 其中 P(x)、 Q(x)是已知的連 續(xù)函數(shù) , Q(x)稱為自由項(xiàng) ． 特點(diǎn)： 方程中的未知函數(shù) y及導(dǎo)數(shù) dydx都是一次的． 2． 分類 若 Q(x)= 0, 即 ? ? 0 ( 2 )dy P x ydx ?? 稱為一階線性齊次微分方程 ． 若 Q(x)≠ 0, 則方程 (1)稱為一階線性非齊次微分方程 ． y x y x? ??如 是 非 齊 次 方 程 ，2 01d y x yd x x??? 是 齊 次 方 程 ，s i nx y y x? ?? 是 非 齊 次 方 程 .3．一階線性齊次方程的解法 ? ? 0dy P x ydx ?? 類型： 可分離變量的微分方程 ． ? ?1 d y P x d xy ??分 離 變 量 得? ?l n l ny P x d x C? ? ??兩 邊 積 分 得? ? 3P x d xy C e ? ??即 （ ）其中 C 為任意常數(shù) . 4． 一階線性非齊次方程的解法 用常數(shù)變易法． ? ? ? ? 1dy P x y Q xdx ??設(shè) （ ） 在方程 （ 1） 所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解的基礎(chǔ)上進(jìn)行變易 , 假設(shè)方程（ 1）有如下形式的解： ? ? ? ?P x d xy C x e ???其中 C（ x）為待定函數(shù)． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 P x d x P x d xC x e P x C x e Q x?? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?代 入 方 程 （ ） 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P x d x P x d x P x d xC x C x e C x e P x P x C x e Q x? ? ???? ? ?? ? ? ? ????? ????? ? ? ? ? ?P x d xC x Q x e ?? ?即? ? ? ? ? ?P x d xC x Q x e C?? ? ??于是方程 (1)的通解為： ? ? ? ? ? ? 4P x d x P x d xy e Q x e d x C? ??????????? （ ）（ 4） 式稱為一階線性非齊次方程 （ 1） 的通解公式 ． 上述求解方法稱為常數(shù)變易法 ． 用常數(shù)變易法求一階線性非齊次方程的通解的一般步驟為： (1)先求出非齊次線性方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解； (2)根據(jù)所求出的齊次方程的通解設(shè)出非齊次線性方程的解將所求 出的齊次方程的通解中的任意常數(shù) C改為待定函數(shù) C(x)即可； (3)將所設(shè)解帶入非齊次線性方程，解出 C(x)，并寫出非齊次線性 方程的通解． ln1 y x xyx?? ?例 求 方 程 的 通 解 .1 lny y xx? ??解 原 方 程 可 變 形 為① ① 式對(duì)應(yīng)的齊次方程為 10yyx???② 將方程②分離變量得 dy dxyx?兩邊積分得 ln ln lny x C??即 ln lny C x?所以齊次方程②的通解為： y Cx? ③ 將上述通解中的任意常數(shù) C換成待定函數(shù) C(x)，將其待入方程①得 ? ? ? ? lnln xx C x x C x x????， 則 ，? ? ? ? ? ? 2l n 1l n l n l n2xC x d x x d x x Cx? ? ? ? ???將 C(x)代入式③ 得原方程的通解： ? ? 2ln2xy x C x??? ? 322 1 .1y y xx? ? ? ??例 求 方 程 的 通 解? ? ? ? ? ? 32 11P x Q x xx? ? ? ??解 ，? ?22 311 1dx dxxxy e x e dx C???????? ? ??????由 公 式 可 得? ? ? ? ? ?23 2111 1x x d x Cx??? ? ? ??? ????? ? ? ?221112x x C??? ? ? ????? ? ? ? ?421 112 x C x??? ? ? ?????例 3 在串聯(lián)電路中 ， 設(shè)有電阻 R， 電感 L和交流電動(dòng)勢(shì) E = E0sinωt， 在時(shí)刻 t = 0時(shí)接通電路 ， 求電流 i與時(shí)間 t的關(guān)系 （ E0,ω為常 數(shù) ） ． 解 設(shè)任一時(shí)刻 t的電流為 i． 我們知道，電流在電阻 R上產(chǎn)生一個(gè)電壓降 uR = Ri， LdiuLdt?由回路電壓定律知道 ， 閉合電路中電動(dòng)勢(shì)等于電壓降之和 ， 即 在電感 L上產(chǎn)生的電壓降是 RLu u E??0 s i ndiR i L E w tdt??亦 即0 s i nEd i R i w td t L L??整