【正文】 9。39。39。( ) 39。39。39。( ) ( ) 39。( )39。39。39。39。 ’ ’ （ 527） 等于 j 時 ，得到 0 x ( ) 0 l ( ) 1 l ( ) + 1li j i j i jx d x e p ip j c l c lj ( ) j = j ( ) j j ( ) j242。amp。amp。amp。amp。( )lli j i j i j i j i j i j i j j jx x d x p x x d x e p p c l l c l l e p p c l p i c l p ij j + j = j j j j + D + j j蝌（ 532） 振動方程則可化為 2012011[ ( ) ( ) ] { ( ) [ ( ) ] ( ) [ 39。amp。165。 （ 533） 由邊界條件 139。amp。39。 amp。ゥ ?= = =j = h + + j邋 ? （ 534） 即 ( ) ( ) ( )2111 1 1( ) [ ( ) ] [ ( ) ]i i i i i j i jj i iq t c p l c t p q t l q tamp。amp。amp。=h + + j + =229。( , ) [ ( ) ( , ) ]w t l c t w t lamp。amp。 （ 537） 這樣單桿柔性機械手無因次動力學方程為 ( ) ( )( ) ( ) ( )2 , 1 , . . . ,j j j jt u tq t q t e p u t jamp。hw=+ = = ? （ 538） 反帶回無因次參數(shù)，化為實際物理量表達的動力學方程。事實上，剛體運動表達在柔性機械臂 振動方程的邊界條件中，按經(jīng)典模態(tài)分析理論，理論上有影響。這兩個約束模態(tài)是： 懸臂梁 ( ) [ c o sh ( ) c o s sinh ( ) sinc o s c o shsin sinhc i c i c i c i c i c ic i c icic i c ix l x x k x xllkl l l lllj = +=+ （ 539） cil 滿足 1 c o s . c o sh 0ci cillll+= 簡支梁： ( ) .sinpi pipix l xiljlpl== （ 540） 柔性梁既會發(fā)生彎曲振動又會發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動，動力學模型變得更復雜。39。 , 1, 39。amp。amp。是柔性梁單位長度的質(zhì)量極慣性矩， ,x z xzJ J J 是負載質(zhì)量對各 慣量軸的慣性矩和慣性積， 考慮水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)細長柔性梁，桿長為 l 單位長度的質(zhì)量密度為ρ各 處的抗彎剛度為 EI，扭轉(zhuǎn)剛度為 GJ，一端固連在電機軸上，一端連接剛性負載。讓 w(t,x)和Φ（ t,x）分別表示柔性梁在時刻 t 和位置 x 處相對坐標軸 11xy 的橫向變形和扭轉(zhuǎn)位移，假設均為小量，材料各向同性梁的橫向彎曲振動方程 2 2 41 1 12 4 4( , ) ( , ) ( , )x 2 ( )w t x E I w t x E I w t x x t y zt t X X q抖 ?+ + = 抖抖 amp。q ， 在 x=0 處邊界條件w(t,0)=0,w’(t,0)=0,w’(t,l)=Θ（ l,t）扭轉(zhuǎn)力矩 T(t,x)=GJδΦ (t,x)/δ x 假設梁在扭轉(zhuǎn)振動時材料各向同性 ,內(nèi)部粘性阻尼常數(shù)同彎曲振動時一樣，扭轉(zhuǎn)振動方程 2 3 22 2 2 2 2( , ) ( , ) ( , )20t x G J t x G J t xt t x x秄 秄 秄 d =秗 k 抖 r k ? （ 544） 其中 pk178。( , ) ( , ) ]2 2 2J t l J t w t l m l c t w t l c w t l e t lamp。 amp。相應的廣義力是剪力 ( )39。 ,EIy t l )彎曲力矩 ( )39。39。qq+ x = t + 這里 Jm—— 電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量，ξ —— 電機的摩擦阻尼系數(shù)，τ（ t） —— 電機產(chǎn)生作用力矩， ( )39。 力學方程 =M C K Qf f f++ 式中 M—— 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣， C—— 系統(tǒng)的阻尼矩陣， K—— 系統(tǒng)的剛度矩陣 ， Q—— 系統(tǒng)的廣義力陣列，Φ —— 系統(tǒng)的廣義坐標 采用有限元法、假設模態(tài)法、奇異攝動法得出不同形式的動力學方程，有限元法推導出線性和非線性動力學方程；假設模態(tài)法得出高度非線性的積分微分方程；采用奇異攝動法導出雙時標動力學模型，利于控制算法實現(xiàn)。柔性關節(jié)和連桿之間存在耦合作用。qq、 、 隨時間變化曲線 The changing curves of 12amp。qq、 、 隨時間變化曲線 Fig. 511 The changing curves of 12amp。采用有限元法、假設模態(tài)法 得出不同形式的動力學方程，有限元法推導出線性和非線性動力學方程 ，進行了一些模態(tài)仿真。qq、 、 along with the time 圖 512 模態(tài)坐標 b b2隨時間變化曲線 The changing curves ofb b2 along with the time 柔性機械手系統(tǒng)動力學研究 32 本章小結(jié) 建模主要參考了一下相關文獻，多種建模方法涉及多種動力學結(jié)構(gòu)學理論。qq、 、 along with the time 青島科技大學本科畢業(yè)設計（論文） 31 圖 510 模態(tài)坐標 a a2隨時間變化曲線 Fig. 510 The changing curves ofa a2 along with the time 圖 511 轉(zhuǎn)角加速度 12amp。 連桿的截面積為：4 2 4 2129 .0 1 0 , 4 .0 1 0 ,s m s m= ? ? 連桿抗彎強度為：3 2 2 21. 42 10 , 2. 8 10 ,E I N m E I N m= 醋 = 醋， 輸入驅(qū)動力矩為： 1220 / , 6 / ,N m N mtt== 設定初始條件為 1 2 1 2 1 244 , 56 , 0a a b bqq= ? ? = = = 數(shù)值及仿真結(jié)果分析： 說明一：相鄰連桿間為理想約束，忽略關節(jié)約束處摩擦力和阻尼力 說明二：初始狀態(tài) 各連桿有重力作用，連桿初始變形不為零，假設連桿初始彈性變形為零 圖 56連桿 1末端在 x、 y方向位移隨時間變化曲線 Fig 56 The displacement curves of the end point on Rod one at x and y directions 柔性機械手系統(tǒng)動力學研究 30 圖 57連桿 2末端在 x、 y方向位移隨時間變化曲線 Fig57 The displacement curves of the end point on Rod two at x and y directions 圖 58轉(zhuǎn)角θ 1θ 2隨時間變化曲線 The changing curves ofθ 1andθ 2 along with the time 圖 59轉(zhuǎn)角 12amp。 Fl+Fl’=0(l=1,2,......,6+n)式中 Fl’和 Fl 分別為系統(tǒng)的廣義主動力和廣義慣性力。 ,0EI tw —— 柔性梁對電機軸反作用彎曲力矩。amp。 ,Iy t l ，扭轉(zhuǎn)力矩 ( )39。39。qqe f + + + + + + + f（ 545） 項① 繞質(zhì)量中心慣性主軸 QX’2 旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動動能） 項②（中心慣性主軸 QZ’2 的轉(zhuǎn)動動能） 項③（負載質(zhì)量中心平動動能）對于末端負載的運動，可以用 ( ) ( ), , 39。 amp。末端負載動能K= 2 2 201 1 1[ ( , ) ] [ ( ) 39。d rr （ 543） 柔性機械手系統(tǒng)動力學研究 28 其中柔性梁阻尼常數(shù) 0d ，關節(jié)的角加速度 ()tamp。 圖 55單桿柔性機械手彎曲和扭轉(zhuǎn) Fig. 55 Bending and torsion of a single rod flexible manipulator Q 表示末端剛性負載質(zhì)量中心， P 表示柔性梁末端的切線與通過剛性負 載質(zhì)量中心垂直平面的交點， c 表示柔性梁末端的到 P 點的距離， e 表示 PQ 之間的距離，定義末端剛性負載連體坐標系 2 2 2xyz ，其中 X2 是柔性梁末端切線，仍然在水平面內(nèi)，它相對于 X1 軸的轉(zhuǎn)角Θ 1 表示，在運動過程中剛性負載相對剪切中心軸 PX2 像倒擺一樣做扭轉(zhuǎn)振動，定義負載對 PX2 軸的扭轉(zhuǎn)較為Θ，軸 22yz 也跟隨剛性負載做扭轉(zhuǎn)振動。amp。amp。amp。 , 39。 , 0 0 , , 0 0, 39。但是這種假設下得出的動力學方程能夠比較真實的描述實際的柔性機械手動力學行為。即使是邊界條件發(fā)生變化，方程表達形式不變，只是動力學參數(shù)如 e,pi 有所 變化 [17]。amp。165。q=+可得 21( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0i i i i iit p l q t w q tamp。39。amp。w j h jゥ ?= = =ⅱ+ = + +邋 ? （ 535） 因此有 21( ) [ 39。 amp。amp。( ) ]i i i i i ii i iq t l c t q t lamp。amp。( , ) [ ( ) 39。=+ j + j j + j+ D + h j j =229。 amp。( ) ] 0i i i j i i i j i iii i i ij i j jiq t w q t c l p l c l p lq t w q t t e p c l c lamp。( ) 39。amp。amp。amp。 ’ ’ （ 529） 其中1ij 0ij=185。( ) lixxj 189。 澆242。( ) 39。39。( ) 39。( ) ( ) 39。( ) ( ) 39。( )39。( ) 39。39。39。39。39。39。39。( ) ]3lliiiw i x x d x x x x p iw i d xpic w i p i l w c iw i p i l p iw ibj = j = + j + j 蝌 （ 521） 因此 有 011( ) ( 0 1 ) 0 ( ) 1 ( ) = e p i 0 ( ) 1 ( )3l i i i i ix x d x c c p i c l c l c l c lbj = + + + j j j j242。39。i l c i [ i 39。 239。 ，得到齊次邊界條件 (0) 0i i t ip q b qj ⅱ=amp。 amp。 amp。, [ ( ) , ] 。amp。為了研究上述方程 式方便，引入如下無因次常數(shù)和對振 方程進行無因次化 無因次常數(shù) 434, , 0 , 1ap l p l M e J pa b c cE I J p l p l= = = = （ 515） 無因次化 2 (), , ( ) 0t x w a u tt x y ta l l Ju(t) （ 516） U(t)為對應實際控制力矩控制變量， 則 柔性機械手運動分解成剛體運動和柔性振動兩部分描述，其無因次動力學方程為 ( ) ( ), ( ) , 0( ) ( , 0 ) ( )t x x t t xt b t u tw q wqwⅱ ? + + =ⅱ=amp。== + = j229。ioz 那么柔性臂的振動方程可用分布參數(shù)的偏微分方程 224 ( , ) ( , ) 04y t x y t xEI ux抖 + r =抖, (510) 其中 0＜ x＜ l 相應的邊界條件為 x=0 處 y(t,0)=0 (511) 222 ( ) 0 ( )y d yE I t Jx d t x抖 + t =抖 圖 52單桿柔性機械手坐標系定義 Fig. 52 The definition of single rod flexible manipulator 圖 53柔性機械手的慣性力分布 Fig 53 The distribution of the inertia force of the flexible manipulator 柔性機械手系統(tǒng)動力學研究 22 圖 54柔性機械手臂上任一微元段 dx的內(nèi)力分布表示