時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析(文件)
【正文】 ?? ? ??? ?? 帕斯維爾定理告訴我們，信號時域的總能量等于頻域的總能量。第二式表示的是頻域到時域的變換，稱為 DFS的反變換。 2πr處的單位沖激函數(shù) ， 強度為 2π， 如圖 。 ∞之間變化 ， 上式可簡化成 ~1~02 ( ) 2( ) [ ( )] ( 2 )NjkrxkX e F T x n k rNN? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???~21~~022( ) ( ) ( )( ) ( )jkNj k nNnX e x k kNNx k x n e???????? ? ?????????() 因此 的 FT如下式 ~()xn30 表 基本序列的傅里葉變換 31 例 令 ， 2π/ω0為有理數(shù) ， 求其 FT。 ? x(n)的一對傅里葉變換用式 ()和式() 表示： ( ) ( )1( ) ( )2j j nnj j nX e x n ex n X e e d??????????? ???????36 ? 討論 ? X(e jω)與 Xa(jΩ)的關(guān)系 ? 數(shù)字頻率 ω與模擬頻率 Ω(f)之間的關(guān)系 1( ) ( )2j n Taax n T X j e d?? ???? ? ??() ( 2 1 ) /( 2 1 ) /1( ) ( )2rT j n Taa rTrx n T X j e d???? ???? ? ?? ? ?? ?將 t=nT代入式模擬信號的傅里葉變換式中， 得到 并將其表示成無限多個積分和，每個積分區(qū)間為 2π/T 37 令 ， 代入上式后 ， 再將 Ω′用 Ω 代替 ， 得到 2 rT??? ? ? ? / 2///12( ) ( )212( ) ( )2nTj nT j rnaaTrnTj nTaaTrx nT X j r e e dTx nT X j r e dT???????????? ?????? ??? ? ? ?? ? ? ?? ??? 式中 ， 因為 r和 n均取整數(shù) ， ej2πrn=1， 交換求和 號和積分號得到 () 38 ?若序列是由一模擬信號取樣產(chǎn)生 ， 則序列的數(shù)字頻率 ω與模擬信號的頻率 Ω(f)成線性性關(guān)系 ， 即： ω=ΩT 式中 T是采樣周期 T=1/fs， 將其代入式 () 得到 1 1 2( ) ( )212( ) ( )jnaarjarx nT X j j r e dT T TX e X j j rT T T????????????? ???? ?????????現(xiàn)在對比 ()式和 ()式 ， 得到 () () 39 ?結(jié)論： 序列的傅里葉變換和模擬信號的傅里葉變換之間的關(guān)系 ， 與采樣信號的 FT和模擬信號的 FT之間的關(guān)系一樣 ， 都是 Xa(jΩ)以周期 Ωs=2π/T進行周期延拓 ， 且在頻率軸上進行歸一化 （ 對 歸一化 ） 。 ()aXj? ?44 將 fs=200 Hz， f0=50 Hz， 代入上式 ， 根據(jù)沖擊函數(shù)的性質(zhì) ， 求括弧中公式為零時的 ω值 ， 可得 ω=2πk177。 f sf40 圖 模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系 － 0 . 5－ 1 0 0
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