【正文】 式 (21)也 可如下表示 ： ? ? ? ?nny eTe ??? () 式 ()具有線性回歸的 特點(diǎn)，其 中 系數(shù)矢量 θ 和信號矢量 ??ne? 的長度都是 M+N1， θ 是帶 估量 的參數(shù)， e? 是 回歸矢量 ， 可如下表示 ： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?TMN nbnbanan 1011 ??? ??? () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?Te MnxnxNndndn 111 ?????? ??? () 式 ()、 ()的表達(dá)形式 使得 能夠通過 參數(shù)估計(jì) 的 方法來對 濾波器 系數(shù) θ 進(jìn)行優(yōu)化， 例如使用 LMS 算法 、 RLS 算法 和 最大似然參數(shù)估計(jì)均方誤差 等 方法 。 根據(jù) 延遲級數(shù)所決定的有限個存儲單元， 可將這種結(jié)構(gòu)歸為 有限沖激響應(yīng) 濾波器 或橫向?yàn)V波器。)(en 的均方值 亦稱 為 均方誤差 (MSE)。 它符合式 (2.14) 0)( *)( ?? ? ?WnWnW ? 即： 0* ??PRW () 上式為 線性方程組 ，假如 矩陣 R 為滿秩 ， 1?R 存在， 就可獲得濾波器 權(quán)系數(shù)的最佳值 以 滿足PRW 1* ?? ， 可用如下矩陣表示 ： ???????????????????????????????????????????? ?? )1()1()0()0()2()1()2()0()1()1()1()0( 1*)1(*1*0NNNNNwwwxdxdxdxxxxxxxxxN ?????????????????????? () 很明顯，上式 ? ? ? ? ? ?? ?mnxnxEmx ??? 為 ??x 的自相關(guān)值， ? ? ? ? ? ?? ?kndnxERxd ??? 為 ??nx與 ??nd 互相關(guān)值。LMS 算法是 一種 以最快下降曲線為 準(zhǔn)則 開始 迭代 的 算法，即 ? ?1?nW 矢量是 ??nW 矢量按均方誤差性能平面的負(fù)斜率大小調(diào)節(jié)一個相應(yīng)增量，如下式所示： ? ? ? ? ? ?nunWnW ???? 1 () 式中 u 是由系統(tǒng)穩(wěn)定 和迭代運(yùn)算收斂速度決定的自適應(yīng)步長。 ??n? 的 ??E 計(jì)算可用 如下表達(dá)式 ： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?inXineKnXneE Ki ??? ???? 101 () 上式 K 的 取值 應(yīng) 滿足 需 要達(dá)到 的數(shù) 值 。 除此之外，它還具有 以下 優(yōu)點(diǎn) ：線性的 設(shè)計(jì)形式，易于 實(shí)現(xiàn) 的 硬件 結(jié)構(gòu) ；與數(shù)字 IR 濾波器 相比 ， FIR 數(shù)字 濾波器的 階次 偏高 ，延遲 也 表 31 兩種濾波器特點(diǎn)比較分析 FIR 濾波器 IIR 濾波器 設(shè)計(jì)方法 一 般無解析的設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)程序完成 利用 AF 的成果，可簡單、有效地完成設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)結(jié)果 可得到幅頻特性 (可以多帶 )和線性相位 (最大優(yōu)點(diǎn) ) 只能得到幅頻特性，相頻特性未知，如需要線性相位，須用全通網(wǎng)絡(luò)校準(zhǔn)，但增加濾波器階數(shù)和復(fù)雜性 穩(wěn)定性 極點(diǎn)全部在原點(diǎn) (永遠(yuǎn)穩(wěn)定 )無穩(wěn)定性問題 有穩(wěn)定性問題 階數(shù) 高 低 結(jié)構(gòu) 非遞歸系統(tǒng) 遞歸系統(tǒng) 運(yùn)算誤差 一般無反饋，運(yùn)算誤差小 有反饋，由于運(yùn)算中的四舍五入會產(chǎn)生極限 環(huán) 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 比相同指標(biāo)下的 IR 數(shù)字濾波器大。 綜上所述 ， FIR 濾波器和 IR 濾波器都具有各自的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，但 FIR 數(shù)字濾波器很 容易獲得嚴(yán)格的線性相位特性，避免被處理信號產(chǎn)生相位失真，不會發(fā)生阻塞現(xiàn)象，能避免強(qiáng)信號淹沒弱信號，無穩(wěn)定性問題。橫向結(jié)構(gòu) 是自適應(yīng)濾波器最普通的應(yīng)用 。 顯然，自適應(yīng)濾波器 控制機(jī)理是用誤差序列 )(en 遵照 某種 規(guī)則 和算法對 自適應(yīng)濾波器 系數(shù) {wi(n)}， i=1， 2， … ， N 進(jìn)行 調(diào)整 的， 最后讓 自適應(yīng)濾波的目標(biāo)函數(shù) 變得 最小 ， 從而 達(dá)到最佳 的 濾波狀態(tài)。 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 由式 ()可見，自適應(yīng)濾波器的代價函數(shù)是 一個 延遲線抽頭系數(shù)的二次函數(shù)。因此，梯度預(yù)測可以單一化表示為 : ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?nxnenw nen ????? 22?? () 事實(shí)上 ，經(jīng)常 使用 2u 取代 u， w(n)是 自適應(yīng)濾波器在 n 時的濾波系數(shù)或權(quán)矢量 。 以任意初始向量 w(0)來開始，向量 w(n)集中在最佳解決方法 w0，假如選 u max10 u ??? () ? ? ? ? ? ?1m a x 0 00NiTr R r N r???? ? ?? () max? 為矩陣 R 的最大特征值，受限制于 式 （ ）， Tr[]是 指示矩陣的軌跡， ? ? ? ?20r E x n??? ??是平均輸入功率。 自適應(yīng) LMS 算法，利用時間 n=0 時 的濾波系數(shù)矢量為任意的 初 值 w(n)， 隨后進(jìn)行 計(jì)算，過程如下所示 : l)根據(jù) n 時 的濾波系數(shù)估值 w(n)，輸入信號 x(n)及期望信號 d(n)，計(jì)算誤差信號 e(n): ? ? ? ? ? ?nyndne ?? () 2)通過 遞歸法計(jì)算 w(n)的更新估值。 最小均方差 (LMS)算法的性能分析 LMS 算法的性能準(zhǔn)則是采用瞬時平方誤差性能函數(shù) |e(k)|2 代替均方誤差性能函數(shù)E{|e(k)|2}，其實(shí)質(zhì)是以當(dāng)前輸出誤差、當(dāng)前參考信號和當(dāng)前權(quán)系數(shù)求得下個時刻的權(quán)系數(shù)。 ? 控制了算法穩(wěn)定性和自適應(yīng)速度，南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 如果 ? 很小，算法的自適應(yīng)速度會很慢；如果 ? 很大，算法會變得不穩(wěn)定 。第二，信號環(huán)境本身的特性，對收斂速度有何影響。盡管改進(jìn)后算法的原理不盡相同，但基本上都遵循該調(diào)整原則：即在收斂的初始階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，步長應(yīng)當(dāng)較大一些，如此收斂速度將達(dá)到一個比較快的 程度；而在算法收斂后，為了使穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲最小，不論主輸入端的干擾信號有多大調(diào)整 ? 都 應(yīng)該保持 較小 小的數(shù)值。理論 和實(shí)驗(yàn)都表明，最小二乘估計(jì)的性能優(yōu)于基于 MMSE 準(zhǔn)則的算法。而 LMS 算法的運(yùn)算量是在 N 數(shù)量級。 所以 預(yù)測誤差 可以如下表示 ： )()()( nXWnxne T?? () 對于 自適應(yīng)濾波器的 設(shè)計(jì)自然 是希望使恢復(fù)誤差 )(n? 最小。式中， ? 為遺忘因子，通常取 0≤λ≤ 1。 一個是 ，需要矩陣求逆及矩陣乘法等運(yùn)算， 故而要很大的運(yùn)算量 。這相當(dāng)于，只有本時刻的結(jié)果被記憶下來，而將以前的各時刻的結(jié)果全部遺忘。 矩陣求逆引理：若 A 是非奇異的，則： 111111 )()( ?????? ???? ACBACIBAABCA TTT () 由 )(nR 的定義式 ()，顯然有 )()()1()( nXnXnRnR T??? () 對它應(yīng)用矩陣求逆引理，得： () 綜上所分析，遞歸最小二乘法自適應(yīng)濾波 (RLS)算法如下所示 算法初始化： 0)0( ?W IR ?)0( For k=1 to n final do : )()1()()( nXnWnxne T ??? () )()()()1()( 1 nenXnRnWnW T???? 遞歸最小二乘 (RLS)算法的性能分析 RLS 算法的關(guān)鍵是用二乘方的時間平均的最小化鋸帶最小均方準(zhǔn)則，并按時間進(jìn)行迭代計(jì)算。 RLS 算法引入了數(shù)加權(quán)遺忘因子 λ ，由于 λ 的出現(xiàn) ，使 RLS 算法能夠跟蹤 非平穩(wěn)信號。 11111( ) ( ) ( ) ( 1 )( ) ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) ( )TTR n X n X n R nR n R n X n R n X n????? ?? ? ? ??)()1()(1 )1()()()()1()( 11111nXnRnX nRnXnXnRnRnR TT?? ???? ?????南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19 考慮隨即機(jī)回歸模型： () 其中 ()xn 是零均值過程 )(nV 是均值為零 ,方差為 N2? 的高斯白噪聲序列。如果信道是非時變的，那么 λ 可以設(shè)為 1。但是，如果 λ 值太小，均衡器將 會不穩(wěn)定。其主要優(yōu)點(diǎn)就是收斂速度快，其收斂性能與輸入信號的頻?? ???? Mi nVinxwnd 1 0 )()1()(南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 20 譜特性無關(guān)。 RLS算法的收斂速度隨著 ? 的變小而加快，但 穩(wěn)定性相對減弱。 Simulink 結(jié)合了圖形用戶界面和交互仿真功能，以系統(tǒng)為中心，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的要求和指標(biāo)為目的，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、測試及驗(yàn)證過程。 %輸入信號抽樣點(diǎn)數(shù) k=128。 a=1。 %信號 s時域波形 title(39。n39。 %加入均值為零的高斯白噪聲 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 22 %設(shè)置初值 y=zeros(1,N)。 %誤差信號 %用 LMS算法迭代濾波 for i=(k+1):N XN=xn((ik+1):(i))。 end pp(q,:)=(e((k+1):N)).^2。)。)。 plot(t,bi,39。收斂曲線 39。比較 三個圖 可以看出，采用自適應(yīng)濾波后的濾波輸出信號和原始信號基本相似，噪聲完全濾除 ，基本達(dá)到濾波效果 。程序與上面一樣，改變其中的 u 值分別為 與 ，用 Matlab 仿真得下圖。 由此可見選擇合適的收斂因子。 圖 設(shè)置的收斂因子為 ，圖 設(shè)置收斂因子為 ，圖 設(shè)置的收斂因子為 。 圖 LMS 算法仿真結(jié)果圖 ， u= 從圖 中 可觀察到， 采用自適應(yīng)濾波后的濾波輸出信號和原始信號基本相似，噪聲完全濾除 ,基本上能將原始信號與噪聲分離，達(dá)到預(yù)期的輸出效果。 hold on %將每次循環(huán)的圖形顯示結(jié)果保存下來 仿真結(jié)果 對程序中所使用的一些函數(shù)的詳細(xì)說明，請參考 MATLAB 的函數(shù)說明，這些函數(shù)包括：南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 23 FIR、 INITSE、 FILTER、 PLOT、 ADAPTSE 等。)。 %求誤差統(tǒng)計(jì)平均 end figure(2)。 %信號 s時域波形 title(39。 %信號 s時域波形 title(39。 e(i)=s(i)y(i)。 %將輸入信號 xn的前 k個值作為輸出 y的前 k個值 w=zeros(1,k)。 axis([0,N,a1,a+1])。)。 %輸入單信號 s figure(1)。 %將每次獨(dú)立循環(huán)的誤差結(jié)果存于矩陣 pp中，以便后面對其平均 u=。 基于 LMS 算法的 MATLAB 的程序仿真 Matlab 仿真程序 使用 Matlab 編程，采用自適應(yīng)濾波器技術(shù)實(shí)現(xiàn)語音去噪過程，程序如下： g=100。南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 21 第四章 基于 MATLAB的自適應(yīng)濾波器仿真實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用 MATLAB 語言簡介 MATLAB 的數(shù)值計(jì)算機(jī)符號 處理 功能 效率非常高 ， 讓使用者 從 復(fù)雜 的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析中 得到 解放 ； MATLAB