【正文】 由此可見(jiàn)選擇合適的收斂因子。 圖 設(shè)置的收斂因子為 ，圖 設(shè)置收斂因子為 ，圖 設(shè)置的收斂因子為 。程序與上面一樣，改變其中的 u 值分別為 與 ，用 Matlab 仿真得下圖。 圖 LMS 算法仿真結(jié)果圖 ， u= 從圖 中 可觀察到， 采用自適應(yīng)濾波后的濾波輸出信號(hào)和原始信號(hào)基本相似，噪聲完全濾除 ,基本上能將原始信號(hào)與噪聲分離，達(dá)到預(yù)期的輸出效果。比較 三個(gè)圖 可以看出，采用自適應(yīng)濾波后的濾波輸出信號(hào)和原始信號(hào)基本相似，噪聲完全濾除 ，基本達(dá)到濾波效果 。 hold on %將每次循環(huán)的圖形顯示結(jié)果保存下來(lái) 仿真結(jié)果 對(duì)程序中所使用的一些函數(shù)的詳細(xì)說(shuō)明，請(qǐng)參考 MATLAB 的函數(shù)說(shuō)明，這些函數(shù)包括：南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 23 FIR、 INITSE、 FILTER、 PLOT、 ADAPTSE 等。收斂曲線 39。)。 plot(t,bi,39。 %求誤差統(tǒng)計(jì)平均 end figure(2)。)。 %信號(hào) s時(shí)域波形 title(39。)。 %信號(hào) s時(shí)域波形 title(39。 end pp(q,:)=(e((k+1):N)).^2。 e(i)=s(i)y(i)。 %誤差信號(hào) %用 LMS算法迭代濾波 for i=(k+1):N XN=xn((ik+1):(i))。 %將輸入信號(hào) xn的前 k個(gè)值作為輸出 y的前 k個(gè)值 w=zeros(1,k)。 %加入均值為零的高斯白噪聲 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 22 %設(shè)置初值 y=zeros(1,N)。 axis([0,N,a1,a+1])。n39。)。 %信號(hào) s時(shí)域波形 title(39。 %輸入單信號(hào) s figure(1)。 a=1。 %將每次獨(dú)立循環(huán)的誤差結(jié)果存于矩陣 pp中，以便后面對(duì)其平均 u=。 %輸入信號(hào)抽樣點(diǎn)數(shù) k=128。 基于 LMS 算法的 MATLAB 的程序仿真 Matlab 仿真程序 使用 Matlab 編程，采用自適應(yīng)濾波器技術(shù)實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音去噪過(guò)程，程序如下： g=100。 Simulink 結(jié)合了圖形用戶(hù)界面和交互仿真功能，以系統(tǒng)為中心，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的要求和指標(biāo)為目的，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、測(cè)試及驗(yàn)證過(guò)程。南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 21 第四章 基于 MATLAB的自適應(yīng)濾波器仿真實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用 MATLAB 語(yǔ)言簡(jiǎn)介 MATLAB 的數(shù)值計(jì)算機(jī)符號(hào) 處理 功能 效率非常高 ， 讓使用者 從 復(fù)雜 的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析中 得到 解放 ； MATLAB 具有 強(qiáng)大 的圖形處理功能， 可將 計(jì)算結(jié)果和編程的 進(jìn)行有效地 可視化；具有友好的用戶(hù) 使用 界面及 擁有與 數(shù)學(xué)表達(dá)式 相近 的自然化語(yǔ)言， 對(duì)于學(xué)者很容易學(xué)習(xí)并掌握其使用 ； 且擁有 功能 齊全 的應(yīng)用工具箱，為用戶(hù)提供了 眾多 方便 而且實(shí)用 的 數(shù)據(jù)處理工具。 RLS算法的收斂速度隨著 ? 的變小而加快，但 穩(wěn)定性相對(duì)減弱。 RLS 算法與 LMS 算法的基本差別如下： LMS 算法中的步長(zhǎng)參數(shù) ? 被 )(1 n?? (即輸入向量的相關(guān)矩陣的逆 )代替這一改進(jìn)對(duì)平穩(wěn)環(huán)境下 RLS 算法的收斂性能有如下深刻的影響。其主要優(yōu)點(diǎn)就是收斂速度快，其收斂性能與輸入信號(hào)的頻?? ???? Mi nVinxwnd 1 0 )()1()(南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 20 譜特性無(wú)關(guān)。它的主要限制是它的收斂速度慢 。但是，如果 λ 值太小，均衡器將 會(huì)不穩(wěn)定。 λ 值對(duì)收斂速率沒(méi)有影響，但是它影響著 RLS 算法的跟蹤能力。如果信道是非時(shí)變的，那么 λ 可以設(shè)為 1。而可以寫(xiě)出： ??? ?? niTin iVWiXiXnq1 0 )]()()[()( ? () 當(dāng) )(n? ， )(?nW 滿足： ? ? )()()()()()()()()( 11 nqnRnbnnAnAnnAnW XTT ??? ???? () 將其寫(xiě)成如下形式： InrnR nxx ???? )()( () 其中 ???? niTinx nXiXnr1 )()()( ? () 將式 (340)和式 (342)帶入式 (341)中得： 1 01? ( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ]nn n ixxiW n r n I r n W X i V i? ? ????? ? ? ? () 故 )]([ nWE ? 010 )( WnrW nx ????? () 在最小二乘法 (RLS)算法引入了 ? 的意義。 11111( ) ( ) ( ) ( 1 )( ) ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) ( )TTR n X n X n R nR n R n X n R n X n????? ?? ? ? ??)()1()(1 )1()()()()1()( 11111nXnRnX nRnXnXnRnRnR TT?? ???? ?????南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19 考慮隨即機(jī)回歸模型： () 其中 ()xn 是零均值過(guò)程 )(nV 是均值為零 ,方差為 N2? 的高斯白噪聲序列。 這里討論 RLS 算法收斂特性?xún)蓚€(gè)方面的問(wèn)題：一是從均值的意義上討論 )(?nW 的收斂性；二是從均方值的意義上討論誤差 ()en 的收斂性。 RLS 算法引入了數(shù)加權(quán)遺忘因子 λ ，由于 λ 的出現(xiàn) ，使 RLS 算法能夠跟蹤 非平穩(wěn)信號(hào)。它使誤差的總能量最小。 矩陣求逆引理：若 A 是非奇異的，則： 111111 )()( ?????? ???? ACBACIBAABCA TTT () 由 )(nR 的定義式 ()，顯然有 )()()1()( nXnXnRnR T??? () 對(duì)它應(yīng)用矩陣求逆引理，得： () 綜上所分析，遞歸最小二乘法自適應(yīng)濾波 (RLS)算法如下所示 算法初始化： 0)0( ?W IR ?)0( For k=1 to n final do : )()1()()( nXnWnxne T ??? () )()()()1()( 1 nenXnRnWnW T???? 遞歸最小二乘 (RLS)算法的性能分析 RLS 算法的關(guān)鍵是用二乘方的時(shí)間平均的最小化鋸帶最小均方準(zhǔn)則，并按時(shí)間進(jìn)行迭代計(jì)算。 )1()1()()()()( 111 ???? ?? ?? nWnWiXiXnRnW ni Tin?南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 18 為了實(shí)現(xiàn)遞推計(jì)算，還要解決逆矩陣 )(1nR? 的遞推計(jì)算問(wèn)題。這相當(dāng)于，只有本時(shí)刻的結(jié)果被記憶下來(lái)，而將以前的各時(shí)刻的結(jié)果全部遺忘。 預(yù)測(cè)誤差 )(ne 由 )()()()( nXnWnxne T?? () 表示。 一個(gè)是 ，需要矩陣求逆及矩陣乘法等運(yùn)算， 故而要很大的運(yùn)算量 。式 ()叫做最佳濾波器系數(shù)的 YuleWalker 方程。式中， ? 為遺忘因子，通常取 0≤λ≤ 1。 而與這個(gè)相反的是 ， )(en 卻是 可以通過(guò) 測(cè)量 得到 的，它與恢復(fù)誤差的關(guān)系為： )()()( nnnne ??? () 而噪聲序列 n(n)是獨(dú)立的，因此不可觀測(cè)的恢復(fù)誤差 )(n? 的最小化等價(jià)于可觀測(cè)的預(yù)測(cè)誤差e(n)的最小化。 所以 預(yù)測(cè)誤差 可以如下表示 ： )()()( nXWnxne T?? () 對(duì)于 自適應(yīng)濾波器的 設(shè)計(jì)自然 是希望使恢復(fù)誤差 )(n? 最小。設(shè)計(jì)出的自適應(yīng)濾波器， 經(jīng)過(guò)改變 濾波器 可調(diào) 參數(shù) iw ， 讓根據(jù)之前 的觀測(cè)樣本而得到的觀測(cè)信號(hào) )(ns 在某種 程度 上 無(wú)限逼南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 近原始 信號(hào) )(ns 。而 LMS 算法的運(yùn)算量是在 N 數(shù)量級(jí)。 主要特點(diǎn) 是收斂速度快， 因此 非常廣泛的應(yīng)用在 實(shí)時(shí)系統(tǒng) 辨別 、 時(shí)間序列 和快速信道均衡 的 分析中。理論 和實(shí)驗(yàn)都表明，最小二乘估計(jì)的性能優(yōu)于基于 MMSE 準(zhǔn)則的算法。為了克服上述缺點(diǎn)，可以采用最小二乘 (RLS)準(zhǔn)則，在每時(shí)每刻，對(duì)所有已輸入信號(hào)重估其誤差，并使各誤差的平方和最小。盡管改進(jìn)后算法的原理不盡相同，但基本上都遵循該調(diào)整原則：即在收斂的初始階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，步長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)較大一些，如此收斂速度將達(dá)到一個(gè)比較快的 程度；而在算法收斂后，為了使穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲最小，不論主輸入端的干擾信號(hào)有多大調(diào)整 ? 都 應(yīng)該保持 較小 小的數(shù)值。 傳統(tǒng)的 LMS 算法結(jié)構(gòu) 并不復(fù)雜 、計(jì)算量小且穩(wěn)定性好，因此 在 噪聲消除 、系統(tǒng)辨識(shí)及信號(hào)處理等領(lǐng)域 被普遍的使用 。第二，信號(hào)環(huán)境本身的特性，對(duì)收斂速度有何影響。 在 LMS 算法中，步長(zhǎng)因子 ? 的取值對(duì)算法的性能有著非常重要的影響，這些影響包括：算法的穩(wěn)定性、算法的收斂速度、算法的擾動(dòng)和失調(diào)。 ? 控制了算法穩(wěn)定性和自適應(yīng)速度，南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 如果 ? 很小，算法的自適應(yīng)速度會(huì)很慢；如果 ? 很大，算法會(huì)變得不穩(wěn)定 。 ()dk 表示第 k 時(shí)刻的輸入信號(hào)矢量式中，式中， )(kX表示參考信號(hào)的信號(hào)矢量： )]1()1(),([)( ???? MknknknkX ??? () ()yk 表示 k 時(shí)刻的輸出信號(hào)， ()ek 表示 k 時(shí)刻的 輸出誤差， W(k)表示 k 時(shí)刻權(quán)系數(shù)矢量： ? ?( ) ( , 0) , ( , 1 ) .. .. .. ( , 1 )W k W k W k W k M?? () ? 表示 LMS 算法步長(zhǎng)收斂因子。 最小均方差 (LMS)算法的性能分析 LMS 算法的性能準(zhǔn)則是采用瞬時(shí)平方誤差性能函數(shù) |e(k)|2 代替均方誤差性能函數(shù)E{|e(k)|2}，其實(shí)質(zhì)是以當(dāng)前輸出誤差、當(dāng)前參考信號(hào)和當(dāng)前權(quán)系數(shù)求得下個(gè)時(shí)刻的權(quán)系數(shù)。 綜上 ，自適應(yīng) LMS算法簡(jiǎn)單，它既不需要計(jì)算 輸入信號(hào)的相關(guān)函數(shù)，又不要求矩陣之逆。 自適應(yīng) LMS 算法，利用時(shí)間 n=0 時(shí) 的濾波系數(shù)矢量為任意的 初 值 w(n)， 隨后進(jìn)行 計(jì)算，過(guò)程如下所示 : l)根據(jù) n 時(shí) 的濾波系數(shù)估值 w(n)，輸入信號(hào) x(n)及期望信號(hào) d(n)，計(jì)算誤差信號(hào) e(n): ? ? ? ? ? ?nyndne ?? () 2)通過(guò) 遞歸法計(jì)算 w(n)的更新估值。僅 當(dāng)最慢的權(quán)集中一點(diǎn) 時(shí) 權(quán)向量 才 收斂 。 以任意初始向量 w(0)來(lái)開(kāi)始，向量 w(n)集中在最佳解決方法 w0，假如選 u max10 u ??? () ? ? ? ? ? ?1m a x 0 00NiTr R r N r???? ? ?? () max? 為矩陣 R 的最大特征值，受限制于 式 （ ）， Tr[]是 指示矩陣的軌跡， ? ? ? ?20r E x n??? ??是平均輸入功率。 自適應(yīng)步長(zhǎng) 使用 u 來(lái)控制 算法的 穩(wěn)定性和收斂率。因此，梯度預(yù)測(cè)可以單一化表示為 : ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?nxnenw nen ????? 22?? () 事實(shí)上 ，經(jīng)常 使用 2u 取代 u， w(n)是 自適應(yīng)濾波器在 n 時(shí)的濾波系數(shù)或權(quán)矢量 。 最優(yōu)解 ? ?TNo w ???? ?110 ?最小化 的 最小均方誤差 ， 來(lái)至 解 式 ()