【正文】 , ?? ii xx? ， （ ） ???????? ???????? ??????????? ????????? ??213333211122 ?? xuxuxxuxuu ii。當(dāng) 0??t ， 0??x 時(shí)，nirT → 0，歐拉差分格式 （ ）逼近微分方程（ ），我們稱這種方程具有相容性或一致性。在解區(qū)的所有網(wǎng)格點(diǎn)上，固定 tn? ，考慮微分方程初值問(wèn)題的解 niu 與其相容的差分方程的解 niU 之差 nini Uu ? ，當(dāng) x? ， t? → 0 時(shí)，在解區(qū)中滿足 max nini Uu ? → 0，則稱差分格式是是收斂的，這就是累積誤差與收斂性的問(wèn)題。 nixnit UcU 0????? ， （ ） ninixnit TrUcU ?????? 0 ， （ ） 式（ ）與式（ ）相減： ? ? ninininini tT reeee ????? ??? 111 2?， xtc???? ， （ ） ? ? ninininini Trteeee ????? ??? 111 2?。 （ ） 假定： 00?ie ， （ ） ???? ??? 101 )1(nkkni tTe ?。 定義：如果給定 時(shí)刻 ，當(dāng) t? 和 x? 趨向于零時(shí)，差分方程 的 解收斂于于微分方程的解，那么這個(gè)格式是 收斂 的。在計(jì)算機(jī)中，數(shù)是按照一個(gè)指數(shù)和小數(shù)的尾數(shù)的形式存儲(chǔ)的，這種算術(shù)運(yùn)算會(huì)有一定的誤差，誤差的大小決定于一個(gè)“字”中位數(shù)的多少及最后一位是如何被舍入的。這就是差分解的穩(wěn)定性問(wèn)題，或差分格式的穩(wěn)定性。如果差分解保持有界，那么差分格式是穩(wěn)定的。這個(gè)穩(wěn)定性分析通常會(huì)可能因?yàn)槟茏V轉(zhuǎn)移或者因?yàn)樗鼈?不能準(zhǔn)確地代表差分方程的非線性項(xiàng)和邊界條件 ，在非線性中，長(zhǎng)波能量可以向短波轉(zhuǎn)移，產(chǎn)生新的短波和湍流現(xiàn)象，這是一種物理現(xiàn)象。 從岸上往海中看，我們發(fā)現(xiàn)海面有波動(dòng)。波浪的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，如 100 個(gè)波的平均高度，每日也是不同的，近岸波的這些顯著特征是由風(fēng)場(chǎng)產(chǎn)生的。所謂海浪是指在風(fēng)力作用下產(chǎn)生的短周期波動(dòng)（規(guī)則 的和不規(guī)則的）在海洋中的傳播。理論方法便是視海水不可壓且運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，用海洋動(dòng)力學(xué)基本方程組研究理想的規(guī)則波動(dòng)（斯托克斯波和正弦波等）。這種方法就是傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。這種海平面的緩慢升降為潮汐所致，是海表另一種類型的波動(dòng)。研究線性波的基本假定： ； ； ； 對(duì)于 波長(zhǎng)是一小量 ； 。利用斯托克斯定理可知，渦通量等于環(huán)流，則如果流體開(kāi)始無(wú)旋，將永遠(yuǎn)無(wú)旋。式（ ）可改成如下形式： ? ?? ? ? ? ? ? 021d ?????????? ? gzpttCt ???? （ ） 設(shè) ? ? tt dC1 ????? ，我們有： ?? ???1 ? ? ? ? 021 111 ????????? gzpt ???? （ ） 1? 仍然是速度勢(shì)，所以： ? ? ? ? 021 ????????? gzpt ???? （ ） 關(guān)于速度勢(shì)的邊界 條件變成： (1)在海表， 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè) 論文 海浪表面線性波動(dòng) 20 ?????????? ???????? ???????????????zz yyxxtz （ ） ),( tyxpp a? （ ） (2)在固定邊界， 。 ? ? wwvvuuztwytvxut t tt cc dddddddddddtddd ??????? ?? 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè) 論文 海浪表面線性波動(dòng) 19 因?yàn)? 222 d21d21d21ddd wvuwwvvuu tt cc ????? ?? =0 ? ? ztwytvxutt tc ddddddddtddd ???? ? （ ） 把式（ ）代入式（ ）： ? ? zgzpyypxxptt tc d1d1d1dd ?????? ???????????? ? ??? 0d ??????? ????tc gp? （ ） 式（ ）說(shuō)明速度環(huán)流的實(shí)質(zhì)微商為零，也就是速度環(huán)流不隨時(shí)間變化，從而渦通量也不隨時(shí)間變化，說(shuō)明流體在開(kāi)始時(shí)無(wú)旋則永遠(yuǎn)無(wú)旋 [17]。 （ 2）在固定邊界 0?nV （ ） 我們可以證明式（ ）描述的運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。 海洋表面線性波動(dòng)理論，這是一種校振幅波理論，因?yàn)槊枋鲈撨\(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件是線性的。 另一種情況，海平面高度時(shí)刻都在變化。 二、統(tǒng)計(jì)方法。在無(wú)風(fēng)的時(shí)間段，海面會(huì)出現(xiàn)表面光滑的規(guī)則波動(dòng)，它是由遠(yuǎn)方海域的風(fēng)浪傳播而來(lái)的，稱之為涌浪。 表面波是非線性的，運(yùn)動(dòng)方程的解決取決于表面邊界條件，但表面邊界條件恰恰是我們想計(jì)算的未知波。波長(zhǎng)（我們往往以兩個(gè)波峰之間 的距離作為波長(zhǎng)）約 50~100m。 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè) 論文 海浪表面線性波動(dòng) 17 3. 海浪表面線性波動(dòng) 海浪理論 海浪通常是由于風(fēng)的影響而生成的小規(guī)模表面重力波 [15]。 前面介紹的計(jì)算穩(wěn)定性問(wèn)題是關(guān)于線性偏微分方程的問(wèn)題而不是非線性偏微分方程。前兩種情況稱格式是穩(wěn)定的，后者稱是不穩(wěn)定的。在計(jì)算第 n+1 時(shí)間層上的 1?niu 時(shí)，要用到第 n時(shí)間層的 niu ，所以計(jì)算第 n+1層以及更后時(shí)間層次上的 1?niu ， 2?niu ，?的值會(huì)受 niu 時(shí)間層的舍入誤差影響 [13]。一是由差分方程近似微分方程時(shí)，由截?cái)嗾`差引起，它決定于差分格式和 x? 與 t? 的大小。 兩式相減得： ? ? 11 ??? ns ?? ， 即 ? ??? 11 ??? ns 根據(jù)上式重寫(xiě)式（ ）： ? ?? ?11 ???? nni tTe ?? ， （ ） 浙江海洋學(xué)院本科畢業(yè)論文 有限差分基本概念 16 tnt ?? 或 ntt?? ， xtc???? ， ???????? ????????? ???? 11nni xn tccxTe ， （ ） 因 Ann enA ??????? ??? 1lim， ?????????? ??? ??? 0n 1elim xxtci ec xT。 （ ） 同樣可寫(xiě)出ｎ時(shí)間層的累積誤差， tTee nini ????? )1(1 ? ， （ ） ? ? tTtTee nini ??????? ?? 11 )1()1( ?? ， tTtTe ni ??????? ? )1()1( 12 ?? ， tTee nini ???? ?? 21 )1( ? 。 （ ） 相容性不能保證收斂性。 差分方程截?cái)嗾`差寫(xiě)成一般形式： ? ??? xtOTr ???? ， （ ） ? ， ? 為 相容性 的階，在時(shí)間 上 有 ? 階的精度，在空間上有 ? 階的精度。 （ ） 上式中右邊第一項(xiàng)是由時(shí)間差分引起的截?cái)嗾`差，第二項(xiàng)是由空間差分引起的截?cái)嗾`差，總的誤差記為 nirT 。這是一個(gè)最基本的條件，如果不滿足，就不能計(jì)算所要研究的問(wèn)題；滿足了，才有 必要詳細(xì)地研究差分格式。由于不同的差分格式具有不同的內(nèi)在性質(zhì)，與原微分方程有不同的近似關(guān)系，呈現(xiàn)不同的數(shù)值效應(yīng)。取時(shí)間步長(zhǎng)為 t? ，在點(diǎn) ? ?ni tx, 上可得到時(shí)間偏導(dǎo)數(shù) nitu???????? 的差分表達(dá)式： Rt uutuninini?????????? ?? ?1 ， ）（ t??OR ， （ ） Rtuutuninini?????????? ?? ?1， ）（ t??OR ， （ ） Rtuutuninini?????????? ?? ?? 2 11 ， ）（ 2OR t?? ， （ ） Rt uuutunininini?? ????????? ?? ?? 2 11 2， ）（ 2OR t?? ， （ ） 式（ ），（ ）分別是時(shí)間向前差分、時(shí)間向后差分，式（ ），式（ ）分別為時(shí)間一階和二階導(dǎo)數(shù)的中央差分格式。將式 （ ），（ ）相減： ?????????????? !3 )(22),(),( 333 xx uxxutxxutxxu ?， ?????? ???????? !3 )(2 ),(),( 333 xxux txxutxxuxu ?， Rxuuxuninini?????????? ?? ??2 11 ， 2OR ）（ x?? ， （ ) 式（ ）為一階導(dǎo)數(shù) xu?? 的中央差分，精度為二階。即在時(shí)空的參考點(diǎn) ? ?ni tx,上，把方程（ ）寫(xiě)成離散的形式，構(gòu)成差分方程。編號(hào)為 ? ?ji, 的網(wǎng)格點(diǎn) ? ?ji yx, 其坐標(biāo)表示為 xixi ?? ? ?Mi ,...,1,0? ， yjyi ?? ? ?Nj ,...,1,0? ， （ ） 函數(shù) ),( yxuu? 的值在 ? ?ji, 點(diǎn)表示為 ),(),(, yjxiuyxuu jiji ????