【正文】 ab nn ?? （ 2n? ）。 （ 2） 1( 4 4 ) ( 1 2 ) 3 4 ( 2 2 ) 212 n nn aS a a a???? ? ? ? ? ? ?? 當(dāng) n≥ 2時(shí)，111 ( 2 2 ) 2 3 4 3 42( 2 2 ) 2 3 4 ( 1 ) 2 3 4nnnnnS a a aS a a a a??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ∵ }{nS 是等比數(shù)列 , ∴1?nnSS(n≥ 2)是常數(shù)， ∴ 3a+4=0，即 43a?? 。 3．已知等差數(shù)列共有 10 項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和 15，偶數(shù)項(xiàng)之和為 30，則其公差是 3 。特征：an+a1=an1+a2 （ 4）錯(cuò)項(xiàng)相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法。 例 2．?dāng)?shù)列 }{na 前 n 項(xiàng)之和 nS 滿足： *1( 1 ) ( 2 1 ) ( , 0 )nnt S t S n N t?? ? ? ? ? ? （ 1） 求證：數(shù)列 }{na 是等比數(shù)列 ( 2)n? ； （ 2） 若數(shù)列 }{na 的公比為 ()ft,數(shù)列 }{nb 滿足：11 11, ( )n nb b f b???，求數(shù)列 }{nb 的通項(xiàng)公式； （ 3） 定義數(shù)列 }{nc 為11nnnc bb??， ，求數(shù)列 }{nc 的前 n 項(xiàng)之和 nT 。 例 3．已知數(shù)列 ??na 滿足 411?a， ? ? ),2(21 11 Nnnaaa nn nn ????? ??． （Ⅰ）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式 na ； （Ⅱ）設(shè)21nn ab ?，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和 nS ； （Ⅲ ） 設(shè) 2 )12(sin ??? nacnn，數(shù)列 ??nc 的前 n 項(xiàng)和為 nT ．求證：對(duì)任意的 ??Nn ， 74?nT． 分析 ：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對(duì)數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。 3．已知數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，且 21nnSa??，則數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式為 12nna ??? 。 (3)設(shè) bn=)12( 1 nan ?(n∈ N*),Tn=b1+b2+?? +bn(n∈ N*),是否存在最大的整數(shù) m，使得對(duì)任意 n∈ N*均有 Tn＞ 32m 成立？若存在，求出 m的值；若不存在，說(shuō)明理由 . 解： (1）由 an+2=2an+1－ an?an+2－ an+1=an+1－ an可知 {an} d= 14 14??aa =－ 2,∴ an=10－ 2n. (2)由 an=10－ 2n≥ 0可得 n≤ 5，當(dāng) n≤ 5時(shí)， Sn=－ n2+9n，當(dāng) n＞ 5時(shí)， Sn=n2－ 9n+40， 故 Sn=???????? ???? 5 409 51 922nnn nnn (3)bn= )111(21)22( 1)12( 1 ?????? nnnnan n )1(2)]111()3121()211[(2121 ??????????????? n nnnbbbT nn ??；要使 Tn＞ 32m 總成立，需32m ＜ T1=41 成立，即 m＜ 8且 m∈ Z，故適合條件的 m的最大值為 7. 第 4 課 數(shù)列的應(yīng)用 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1．能在具體的問(wèn)題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。 【范例導(dǎo)析】 例 1．已知正數(shù)組成的兩個(gè)數(shù)列 }{},{ nn ba ，若 1, ?nn aa 是關(guān)于 x 的方程 02 122 ??? ?nnnn bbaxbx 的兩根 （ 1）求證： }{nb 為等差數(shù)列； （ 2）已知 ,6,2 21 ?? aa 分別求數(shù)列 }{},{ nn ba 的通項(xiàng)公式； （ 3）求數(shù)nnn snb 項(xiàng)和的前}2{。 解：由題意得： )()()( 113121 ????????? nnn aaaaaaaa ? )4(0)1()2(6 ??????? n? ? ?2 )1()4()2(6 ?????? nn＝ 2 1872 ?? nn ； 由已知 22,42 21 ???? bb 得公比21?q ? ? 111 2142122?? ??????????????????nnn bb nnb ?????????? 2182 （ 2） kk bakf ??)( k21 7 19 2 82 2 2kk ??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 2k1 7 4 9 1872 2 4 2k??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???，所以當(dāng) 4?k 時(shí)， )(kf 是增函數(shù)。 3．設(shè) }{na 為等差數(shù)列， nS 為數(shù)列 }{na 的前 n 項(xiàng)和，已知 7 157, 75SS??， nT 為數(shù)列｛ nSn ｝的前 n 項(xiàng)和，則 nT? 2 94nn? ． .4,3,}{ 422 SSanSa nn ??且項(xiàng)和為其前為等差數(shù)列 （ 1）求數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式； （ 2）求證數(shù)列 }2{na 是等比數(shù)列； （ 3）求使得 nSS nn 的成立的22 ?? 的集合 . 解：（ 1）設(shè)數(shù)列 daa n 公差為的首項(xiàng)為 ,}{ 1，由題意得：??? ?????? dadada 64)2(4 3111 解得： 122,11 ????? nada n （ 2）由題意知： 42222 32 121 ?? ??? nnaann， }2{ na數(shù)列? 為首項(xiàng)為 2，公比為 4的等比數(shù)列 （ 3）由 21 ,12,2,1 nSnada nn ????? 得 }4,3,2,1{:4,3,2,18)2(2)2(2 2222的集合為故 nnnnnSS nn?????????? ? ??na 的各項(xiàng)均為正數(shù)， nS 為其前 n 項(xiàng)和，對(duì)于任意 *Nn? ，滿足關(guān)系 22 ?? nn aS . 證明： ??na 是等比 數(shù)列； 證明：∵ *)(22 NnaS nn ??? ① ∴ *)(22 11 NnaS nn ??? ?? ② ②－①，得 *)(22 11 Nnaaa nnn ??? ?? ∵ *)( 2,0 1 Nnaaa nnn ???? ? 故 :數(shù)列 {an}是等比數(shù)列 。 【反饋演練】 1．制造某種產(chǎn) 品，計(jì)劃經(jīng)過(guò)兩年要使成本降低 36% ，則平均每年應(yīng)降低成本 20% 。 例 2．設(shè)數(shù)列 ? ?? ?nn ba , 滿足 3,4,6 332211 ?????? bababa ，且數(shù)列 ? ?? ??? ?? Nnaa nn 1 是等差數(shù)列，數(shù)列 ? ?? ???? Nnbn 2 是等比數(shù)列。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1． 若 數(shù)列 ??na 中， 311?a，且對(duì)任意的正整數(shù) p 、 q 都有 qpqp aaa ?? ，則 ?na 13n . 2．設(shè)等比數(shù)列 ??na 的公比為 q ，前 n 項(xiàng)和為 nS ，若 12,n n nS S S??成等差數(shù)列，則 q 的值為 2? 。 5．?dāng)?shù)列 {an}滿足 a1=2，對(duì)于任意的 n∈ N*都有 an＞ 0, 且 (n+1)an2+an 【反饋演練】 1．已知數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)公式 *2 1( )na n n N? ? ?，其前 n 項(xiàng)和為 nS ，則數(shù)列 }{nSn 的前 10 項(xiàng)的和為 75 。 （ 2）1 1( ) 2nnnb f bb? ? ? ?，則有 1 2nnbb? ?? ∴ 21nbn??。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．已知公差不為 0的正項(xiàng)等差數(shù)列｛ an｝中 ,Sn為前 n項(xiàng)之和 ,lga lga lga4成等差數(shù)列，若 a5=10, 則 S5 = 30 。 5．設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn,已知 a3=12,S120,S130. (1)求公差 d的取值范圍； (2)指出 S S?、 S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由 . 解： (1)依題意有：????????????????????0212131302111212,12211311213daSdaSdaa 解之得公差 d的取值 范圍為－ 724 ＜ d＜－ 3. (2)解法一：由 d＜ 0可知 a1a2a3? a12a13,因此，在 S1， S2，?， S12中 Sk為最大值的條件為： ak≥ 0且ak+1＜ 0,即??? ??? ??? 0)2( 0)3(33 dka dka ∵ a3=12, ∴??? ?? ?? 122 123dkd dkd， ∵ d＜ 0, ∴ 2－ d12 ＜ k≤ 3－ d12 ∵－ 724 ＜ d＜－ 3,∴ 27 ＜－ d12 ＜ 4,得 ＜ k＜ 7. 因?yàn)?k是正整數(shù)，所以 k=6,即在 S1， S2，?， S12中， S6最大 . 解法二 ： 由 d＜ 0得 a1a2? a12a13， 因此若在 1≤ k≤ 12 中有自然數(shù) k,使得 ak≥ 0,且 ak+1＜ 0,則 Sk 是 S1， S2，?， S12 中的最大 值。 【反饋演練】 1．已知等差 數(shù)列 ??na 中， 247, 15aa??，則前 10項(xiàng)的和 10S ＝ 210 。 分析： 第（ 1）問(wèn)用定義證明，進(jìn)一步第（ 2）問(wèn)也可以求出。 解：（ 1）設(shè)等差數(shù)列 )}1({log 2 ?na 的公差為 d， 由 ,8lo g2lo g)2( lo g2:9,3 22231 ????? daa 得 即 d=1。 a2 4．公差不為 0的等差數(shù)列 {an}中， a2， a3， a6依次成等比數(shù)列，則公比等于 3 。 第 2 課 等差、等比數(shù)列 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1． 掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式，能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題； 2． 理解等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，了解等差、等比數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系； 3． 注意函數(shù)與方程思想方法的運(yùn)用。 3．設(shè) f（ n） = nnnn 21312111 ?????????? （ n∈ N），那么 f（ n+1）－ f（ n）等于 22 112 ??? nn 。 1 2 .nna? ? ? 即 *2 1( ).nna n N? ? ? （ II） 12 1114 4 . . . 4 ( 1 ) .nnbbbb na??? ?? 12( ... )4 2 .nnb b b n nb? ? ? ??? 122 [ ( ... ) ] ,nnb b b n n b? ? ? ? ? ? ① 1 2 1 12 [ ( . . . ) ( 1 ) ] ( 1 ) .n n nb b b b n n b??? ? ? ? ? ? ? ? ② ； ② － ① ，得 112 ( 1 ) ( 1 ) ,n n nb n b n b??? ? ? ? 即 1( 1) 2 0 ,nnn b nb?? ? ? ?③ ∴ 21( 1) 2 0 .nnnb n b??? ? ? ? ④ ③ － ④ ，得 212 0 ,n n nnb nb nb??? ? ? 即 212 0,n n nb b b??? ? ? *2 1 1 ( ) ,n n n nb b b b n N? ? ?? ? ? ? ???nb? 是等差數(shù)列。 當(dāng) n=1時(shí)， 111aS?? 所以 *6 5( )na n n N? ? ?。 例 2．設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，點(diǎn) ( , )( )nSn n Nn ?? 均在函數(shù) y＝ 3x－ 2 的圖像上 ,求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 函 數(shù) 數(shù) 列 一般數(shù)列 通項(xiàng) 前 n 項(xiàng) 和 特殊數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項(xiàng)公式 中項(xiàng)性質(zhì) 前 n 項(xiàng)和公式 公式 通項(xiàng)公式 中項(xiàng)性質(zhì) 前 n 項(xiàng)和公式 公式 3．設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n項(xiàng)和為 nS ， *1 (3 1) ()2nn aS n N??? ，且 4 54a? ，則 1a? ____2__. 4．已知數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和 (5 1)2n nnS ???