euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫及推廣(文件)
【正文】 P 上的兩個線性空間， T 為 1V 到 2V 的映射，如果 1,x y V??及數(shù) kP? ，有 1) ( ) ( ) ( )T x y T x T y? ? ?； 2) ( ) ( )T kx kT x? ， 則稱 T 為 1V 到 2V 的線性算子 . 特別地，在定義 4 中，當(dāng) 2VP? 時， T 就是定義 1中所說的 1V 上 的線性函數(shù)；當(dāng) 12VV? 時， T 就是 1V 2()V或 的線性變換 . 引理 1[3] W 是內(nèi)積空間 V 的閉子空間，則對每個 xV? ，存 在唯一的 yW? ，使得 ( , )x y d x W?? ， 這里的范數(shù) ? 是 V 的內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)， ( , ) infyWd x W x y???是 x 與 W 的距離 . 引理 2[3] W 是內(nèi)積空間 V 的子空間， xV? ，若 yW?? ，使得 ( , )x y d x W?? ，那么， x y W?? . 引理 1 與引理 2 的證明在文獻(xiàn) [3]中有詳細(xì)的論述，為避免累贅，我們在這里省略掉這部分過程 . 2 主要結(jié)果 Euclid 空間上的線性泛函 的內(nèi)積刻畫定理 5 定理指出 Hilbert 空間上的連續(xù)線性泛函的內(nèi)積刻畫具有唯一性，下面引理說明了這種唯一性具有普遍性，不僅僅局限于 Hilbert 空間上的連續(xù)線性泛函 . 引理 3 設(shè) f 是 Euclid 空間 V 上的線性泛函，若 00,y z V??，使得 xV?? , 有 00( ) , ,f x x y x z??， 則 00yz? . 證明 由于 00( ) , ,f x x y x z?? xV? ， ? xV?? ，有 00,0x y z??， 取 00x y z??，則有 0 0 0 0,0y z y z? ? ?， ? 000yz??， 即 00yz? . 在三維幾何空間 3R 上的線性泛函 ()f n ax by cz??? ? ? ? ?，其中 ( , , )n a b c? 是3R 中常向量， ( , , )x y z?? 是 3R 中任意向量 .很明顯， 定理中要找的 fy 現(xiàn)在就是 n ，它是平面 ( ) 0f ? ? 的法向量，而平面 ( ) 0f ? ? 就是 3R 的子空間 ()Nf ，推廣到一般的有限維 Euclid 空間，便有： 定理 1 設(shè) f 是 n 維 Euclid 空間 V 上的線性泛函，如果 dim ( ) 1N f n??，則存在唯一的 fyV? ，使得 xV?? ，有 ( ) , ff x x y? . 證明 由于 dim ( ) 1N f n??，可設(shè) 1 2 1, , , n? ? ? ? 是 ()Nf 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，利用 Schimidt 正交方法將其擴(kuò)充為 V 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 2 1, , , ,nn? ? ? ?? ，則 1niiix k V??? ? ??， , 1, 2, ,ik R i n?? ，有 1( ) ( )niiif x f k ??? ? 1 ()niii kf???? ()nnkf?? 1 , ( )ni i n ni kf? ? ??? ? , fxy? ， 其中 ()f n ny f V????，再由引理 3 可知定理 1 結(jié)論成立 . 其實(shí)，在定理 1 中，不要條件 dim ( ) 1N f n??，結(jié)論也是成立的，即有： 定理 2 設(shè) f 是 Euclid 空間 V 上的線性泛函，且 dimV??? ，則存在唯一的 6 fyV?，使得 xV?? ，有 ( ) ,ff x x y?. 證明 設(shè) dimVn? ， dim ( )N f r? ， 1) 當(dāng) rn? 時， ()N f V? ，這時取 0fy ? 即可； 2) 當(dāng) rn? 時，設(shè) 12, , , r? ? ? 是 ()Nf 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，利用 Schimidt 正交方法將其擴(kuò)充為 V 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 2 1, , , , , , ,r r n? ? ? ? ??則 1niiix k V??? ? ??， , 1, 2, ,ik R i n?? ，有 1( ) ( )niiif x f k ??? ? 1 ()niii kf???? ? 11( ) ( )r r n nk f k f???? ?? 11, ( )nni i j ji j rkf? ? ?? ? ?? ?? , fxy? 其中1 ()nf i iiry f V???????.再由引理 3 知唯一性成立，定理得證 . 通過定理 2，我們知道，對于有限維的 Euclid 空 間上的線性泛函都能用內(nèi)積來刻畫，而對于更一般的情形（對整個 Euclid 空間的維數(shù)不加限制），我們先從下面的引理開始探討 . 引理 4 設(shè) V 是 Euclid 空間， xV? ，則由 x 生成的子空間 ()Lx 是 V 的閉子空間 . 證明 當(dāng) ()Lx 的聚點(diǎn)集 39。0 ()x Lx? ，則有 ()Lx 中的點(diǎn)列 {}nx ，有0lim nn xx??? ?，則 0???， N ?? ?? ，對 n? ， mN? ，有 nmx x x ??? ， （ 1） 由于 nx ()Lx? ，故 nkR??，使得 nnx kx? ， 1n? ， 2 ， ，將此代入（ 1）
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