【正文】 (x)的解析式． [審題視點 ] (1)用代換法求解； (2)構造方程組求解． 解 (1)令 t＝ 2x＋ 1，則 x＝ 2t－ 1， ∴ f(t)＝ lg 2t－ 1，即 f(x)＝ lg 2x－ 1. (2)x∈ (－ 1,1)時，有 2f(x)－ f(－ x)＝ lg(x＋ 1)． ① 以－ x 代 x 得， 2f(－ x)－ f(x)＝ lg(－ x＋ 1)． ② 由 ①② 消去 f(－ x)得 f(x)＝ 23lg(x＋ 1)＋ 13lg(1－ x)， x∈ (－ 1,1)． 求函數(shù)解析式的方法主要有： (1)代入法； (2)換元法； (3)待定系數(shù)法；(4)解函 數(shù)方程等． 【訓練 2】 (1)已知 f(x)是二次函數(shù)，若 f(0)＝ 0，且 f(x＋ 1)＝ f(x)＋ x＋ 1，試求 f(x)的表達式． (2)已知 f(x)＋ 2f(1x)＝ 2x＋ 1，求 f(x)． 解 (1)由題意可設 f(x)＝ ax2＋ bx(a≠ 0)，則 a(x＋ 1)2＋ b(x＋ 1)＝ ax2＋ bx＋ x＋ 1 ax2＋ (2a＋ b)x＋ a＋ b＝ ax2＋ (b＋ 1)x＋ 1 ∴ ??? 2a＋ b＝ b＋ 1，a＋ b＝ 1， 解得 a＝ 12， b＝ 12. 因此 f(x)＝ 12x2＋ 12x. (2)由已知得????? f?x?＋ 2f??? ???1x ＝ 2x＋ 1，f??? ???1x ＋ 2f?x?＝ 2x＋ 1，消去 f??? ???1x ， 得 f(x)＝ 4＋ x－ 2x23x . 考向三 分段函數(shù) 【例 3】 ?(2020第 1 講 函數(shù)及其表示 【高考會這樣考】 1．主要考查函數(shù)的定義域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函數(shù)的簡單應用． 3．由于函數(shù)的基礎性強，滲透面廣，所以會與其他知識結合考查． 【復習指導】 正確理解函數(shù)的概念是學好函數(shù)的關鍵，函數(shù)的概念比較抽象，應通過適量練習彌補理解的缺陷，糾正理解上的錯誤．本講復習還應掌握： (1)求函數(shù)的定義域的方法； (2)求函數(shù)解析式的基本方法； (3)分段函數(shù)及其應用． 基礎梳理 1．函數(shù)的基本概念 (1)函數(shù)的定義：設 A、 B 是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系 f，使對于集合 A中的 任意 一個數(shù) x，在集合 B 中都有 唯一 確定的數(shù) f(x)和它對應，那么稱f： A→ B 為從集合 A到集合 B 的一個函數(shù)，記作： y＝ f(x)， x∈ A. (2)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù) y＝ f(x)， x∈ A中， x 叫自變量， x 的取值范圍 A叫做 定義域 ，與 x 的值對應的 y 值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合 {f(x)|x∈ A}叫值域．值域是集合 B 的子集． (3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應關系． (4)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的 定義域和 對應關系 完全一致，則這兩個函數(shù)相等；這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)． 2． 函數(shù)的三種表示方法 表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法、 圖象法． 3． 映射的概念 一般地，設 A、 B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系 f，使對于集合 A中的任意一個元素 x，在集合 B 中都有 唯一 確定的元素 y 與之對應，那么就稱對應 f： A→ B 為從集合 A到集合 B 的一個映射． 一個方法 求復合函數(shù) y＝ f(t)， t＝ q(x)的定義域的方法： ① 若 y＝ f(t)的定義域為 (a， b)，則解不等式得 a＜ q(x)＜ b 即可求出 y＝ f(q(x))的定義域； ② 若 y＝ f(g(x))的定義域為 (a， b)，則求出 g(x)的值域即為 f(t)的定義域． 兩個防范 (1)解決函數(shù)問題，必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域． (2)用換元法解題時，應注意換元前后的等價性． 三個要素 函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應關系．值域是由函數(shù)的定義域和對應關系所確定的．兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致時，則認為兩個函數(shù)相等．函數(shù)是特殊的映射，映射 f： A→ B 的三要素是兩個集合 A、 B 和對應關系 f. 雙基自測 1． (人教 A 版教材 習題改編 )函數(shù) f(x)＝ log2(3x＋ 1)的值域為 ( )． A． (0，＋ ∞ ) B． [0，＋ ∞ ) C． (1，＋ ∞ ) D． [1，＋ ∞ ) 解析 ∵ 3x＋ 1＞ 1， ∴ f(x)＝ log2(3x＋ 1)＞ log21＝ 0. 答案 A 2． (2020遼寧 )設函數(shù) f(x)＝ ??? 21－ x， x≤ 1，1－ log2x， x＞ 1， 則滿足 f(x)≤ 2 的 x 的取值范圍是 ( )． A． [－ 1,2] B． [0,2] C． [1，＋ ∞ ) D． [0，＋ ∞ ) [審題視點 ] 對于分段函數(shù)應分段求解，最后再求其并集． 解析 f(x)≤ 2? ??? x≤ 1，21－ x≤ 2 或 ??? x＞ 1，1－ log2x≤ 2? 0≤ x≤ 1 或 x＞ 1，故選 D. 答案 D 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．解決分段函數(shù)問題，關鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問題，如本例中，需分 x≤ 1 和 x＞ 1 時分別解得 x 的范圍，再求其并集． 【訓練 3】 (2020江蘇 )函數(shù) f(x)＝ log5(2x＋ 1)的單調(diào)增區(qū)間是 ______． 解析 要使 y＝ log5(2x＋ 1)有意義，則 2x＋ 1＞ 0，即 x＞－ 12，而 y＝ log5u 為 (0，＋ ∞ )上的增函數(shù)，當 x＞－ 12時， u＝ 2x＋ 1 也為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 ??? ???－ 12，＋ ∞ . 答案 ??? ???－ 12，＋ ∞ 5．若 x＞ 0，則 x＋ 2x的最小值為 ________． 解析 ∵ x＞ 0，則 x＋ 2x≥ 2 x福州一中月考 )f(x)＝ 1x－ x 的圖象關于 ( )． A． y 軸對稱 B．直線 y＝－ x 對稱 C．坐標原點對稱 D．直線 y＝ x 對稱 解析 f(x)的定義域為 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ )，又 f(－ x)＝ 1－ x－ (－ x)＝－ ??? ???1x－ x ＝－ f(x)，則 f(x)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱． 答案 C 3． (2020f(x)＝ 0， 則 f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)； ② f(x)＝ x3－ x 的定義域為 R， 又 f(－ x)＝ (－ x)3－ (－ x)＝－ (x3－ x)＝－ f(x)， 則 f(x)＝ x3－ x 是奇函數(shù)； ③ 由 x＋ x2＋ 1x＋ |x|≥ 0 知 f(x)＝ ln(x＋ x2＋ 1)的定義域為 R， 又 f(－ x)＝ ln(－ x＋ ?－ x?2＋ 1)＝ ln 1x＋ x2＋ 1＝ － ln(x＋ x2＋ 1)＝－ f(x)， 則 f(x)為奇函數(shù)； ④ f(x)＝ 3x－ 3－ x2 的定義域為 R， 又 f(－ x)＝ 3－ x－ 3x2 ＝－3x－ 3－ x2 ＝－ f(x)， 則 f(x)為奇函數(shù)； ⑤ 由 1－ x1＋ x0 得－ 1x1， f(x)＝ ln1－ x1＋ x的定義域為 (－ 1,1)， 又 f(－ x)＝ ln1＋ x1－ x＝ ln??? ???1－ x1＋ x － 1＝－ ln1－ x1＋ x＝－ f(x)， 則 f(x)為奇函數(shù)． 答案 D 判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法是： (1)求函數(shù)的定義域； (2)證明 f(－ x)＝ f(x)或 f(－ x)＝－ f(x)成立；或者通過舉反例證明以上兩式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何結論的，切忌主觀臆斷． 【訓練 1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝ 4－ x2|x＋ 3|－ 3； (2)f(x)＝ x2－ |x－ a|＋ 2. 解 (1)解不等式組 ??? 4－ x2≥ 0，|x＋ 3|－ 3≠ 0， 得－ 2≤ x0，或 0x≤ 2， 因此函數(shù) f(x)的定義域是 [－ 2,0)∪ (0,2]， 則 f(x)＝ 4－ x2x . f(－ x)＝ 4－ ?－ x?2－ x ＝－4－ x2x ＝－ f(x)， 所以 f(x)是奇函數(shù)． (2)f(x)的定義域是 (－ ∞ ，＋ ∞ )． 當 a＝ 0 時， f(x)＝ x2－ |x|＋ 2， f(－ x)＝ x2－ |－ x|＋ 2＝ x2－ |x|＋ 2＝ f(x)． 因此 f(x)是偶函數(shù)； 當 a≠ 0 時， f(a)＝ a2＋ 2， f(－ a)＝ a2－ |2a|＋ 2， f(－ a)≠ f(a)，且 f(－ a)≠ － f(a)． 因此 f(x)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)． 考向二 函數(shù)奇偶性的應用 【例 2】 ?已知 f(x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 (x≠ 0)． (1)判斷 f(x)的奇偶性； (2)證明： f(x)＞ 0. [審題視點 ] (1)用定義判斷或用特值法否定； (2)由奇偶性知只須求對稱區(qū)間上的函數(shù)值大于 0. (1)解 法一 f(x)的定義域是 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ ) ∵ f(x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 ＝ x2沈陽模擬 )設 f(x)是 (－ ∞ ，＋ ∞ )上的奇函數(shù)， f(x＋ 2)＝－ f(x)，當 0≤ x≤ 1 時， f(x)＝ x. (1)求 f(π)的值； (2)當－ 4≤ x≤ 4 時，求 f(x)的圖象與 x 軸所圍成圖形的面積； (3)寫出 (－ ∞ ，＋ ∞ )內(nèi)函數(shù) f(x)的單調(diào)增 (或減 )區(qū)間． 第 (1)問先求函數(shù) f(x)的周期，再求 f(π)； 第 (2)問，推斷函數(shù) y＝ f(x)的圖象關于直線 x＝ 1 對稱，再結合周期畫出圖象，由圖象易求面積； 第 (3)問，由圖象觀察寫出． [解答示范 ] (1)由 f(x＋ 2)＝－ f(x)得， f(x＋ 4)＝ f[(x＋ 2)＋ 2]＝－ f(x＋ 2)＝ f(x)， 所以 f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)， (2 分 ) ∴ f(π)＝ f(－ 1 4＋ π)＝ f(π－ 4)＝－ f(4－ π) ＝－ (4－ π)＝ π－ 4.(4 分 ) (2)由 f(x)是奇函數(shù)與 f(x＋ 2)＝－ f(x)，得： f[(x－ 1)＋ 2]＝－ f(x－ 1)＝ f[－ (x－ 1)]，即 f(1＋ x)＝ f(1－ x)． 故知函數(shù) y＝ f(x)的圖象關于直線 x＝ 1 對稱． (6 分 ) 又 0≤ x≤ 1 時， f(x)＝ x，且 f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則 f(x)的圖象如圖所示． (8 分 ) 當－ 4≤ x≤ 4 時， f(x)的圖象與 x 軸圍成的圖形面積為 S，則 S＝ 4S△ OAB＝ 4 ??? ???12 2 1 ＝ 4.(10 分 ) (3)函數(shù) f(x)的單調(diào)遞 增區(qū)間為 [4k－ 1,4k＋ 1](k∈ Z)，單調(diào)遞減區(qū)間 [4k＋ 1,4k＋ 3](k∈ Z)． (12 分 ) 關于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉化為已知區(qū)間上的問題． 【試一試】 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x－ 4)＝－ f(x)，且在區(qū)間 [0,2]上是增函數(shù)，則 ( )． A． f(－ 25)＜ f(11)＜ f(80) B． f(80)＜ f(11)＜ f(－ 25) C． f(11)＜ f(80)＜ f(－ 25) D． f(－ 25)＜ f(80)＜ f(11) [嘗試解答 ] 由函數(shù) f(x)是奇函數(shù)且 f(x)在 [0,2]上是增函數(shù)可以推知， f(x)在 [－ 2,2]上遞增，又 f(x－ 4)＝－ f(x)? f(x－ 8)＝－ f(x－ 4)＝ f(x)，故函數(shù) f(x)以 8 為周期， f(－25)＝ f(－ 1)， f(11)＝ f(3)＝－ f(3－ 4)＝ f(1)， f(80)＝ f(0)，故 f(－ 25)＜ f(80)＜ f(11)．故選 D. 答案 D 第 4 講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 【高考會這樣考】 1．考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應用． 2．以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為 知識載體，考查指數(shù)的運算和函數(shù)圖象的應用． 3．以指數(shù)或指數(shù)型函數(shù)為命題背景，重點考查參數(shù)的計算或比較大?。? 【復習指導】 1．熟練掌握指數(shù)的運算是學好該部分知識的基礎，較高的運算能力是高考得分的保障，所以熟練掌握這一基本技能是重中之重． 2．本講復習，還應結合具體實例了解指數(shù)函數(shù)的模型，利用圖象掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．重點解決： (1)指數(shù)冪的運算； (2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) . 基礎梳理 1．根式 (1)根式的概念 如果一個數(shù)的 n 次方等于 a(n＞ 1 且， n∈ N*)，那么這個數(shù)叫做 a 的 n 次方根．也就是，若 xn＝ a，則 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞ 1 且 n∈ N*.式子 n a叫做根