20xx年成人高考(專升本筆記)高等數(shù)學(xué)一-wenkub
2022-08-17 11:12:47 本頁面
【正文】 果 則稱 是與 同階的無窮小量； （ 3）如果 則稱 與 是等價無窮小量，記為 ～ ； （ 4）如果 則稱 是比 較低價的無窮小量。 當 時， 是無窮小量，而當 時， 是無窮大量。記作 。否則是毫無意義的。 （ 2）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。 這里說的 自變量 x 在某個變化過程中 是指當 或 ，或 ，或 ，或 ，或中的一個。 定理 （兩面夾定理）設(shè)函數(shù) ， ， 在點 的某個鄰域內(nèi)（ 可除外）滿足條件 且有 。 時，函數(shù) 的極限 （ 1）當 時，函數(shù) 的極限 定義 對于函數(shù) ，如果當 時， 無限地趨于一個常數(shù) A，則稱當 時，函數(shù)的極限是 A，記作 或 （當 時） （ 2）當 時，函數(shù) 的極限 定義 對于函數(shù) ，如果當 時， 無限地趨于一個常數(shù) A，則稱當 時，函數(shù)的極限是 A，記作 這個定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，只不過在數(shù)列極限的定義中 一定表示 ，且n 是正整數(shù)；而在這個定義中，則要明確寫出 ，且其中的 x 不一定是整數(shù)。 顯然，函數(shù)的左極限 、右極限 與函數(shù)的極限 之間有以下關(guān)系： 如需精美完整排版，請 ： 67460666 手機 137 8381 6366 聯(lián)系 定理 當 時，函數(shù) 的極限等于 A 的必要充分條件是 這就是說：如果當 時，函數(shù) 的極限等于 A，則必定有左、右極限都等于 A。 定理 單調(diào)有界，則它必有極限。 （二 ）數(shù)列極限的性質(zhì) 定理 （惟一性）若數(shù)列 收斂，則其極限值必定惟一。為數(shù)列的一般項或通項，例如 （ 1） 1， 3， 5， … ， ， … （ 2） （ 3） （ 4） 1， 0， 1， 0， … ， … 都是數(shù)列。 在幾何上，數(shù)列 可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點 。 定理 （有界性）若數(shù)列 收斂，則它必定有界。 下面我們給出數(shù)列極限的四則運算定理。 反之，如果左、右極限都等于 A，則必有 。 如函數(shù) ，當 時， 無限地趨于常數(shù) 2，因此有 （ 3）當 時，函數(shù) 的極限 定義 對于函數(shù) ，如果當時 ， 無限地趨于一個常數(shù) A，則稱當 時， 的極限是 A，記作 又如函數(shù) ，當 時， 無限地趨于常數(shù) 2，因此我們說，當 時，函數(shù)的極限是 2，即有 由上述 ， ， 時，函數(shù) 極限的定義，不難看出： 時， 的極限是 A，這表示當且僅當 以及 時，函數(shù) 有相同的極限 A。 注意：上述定理 及定理 對 也成立。為了簡單起見，我們沒有專門再提出數(shù)列，而把它歸入函數(shù)之中，并且有時將數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱為變量。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，例如 ， 。 （ 3）很小很小的數(shù)不是無窮小量，越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當 x 越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。 無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關(guān)系，見以下的定理。 如需精美完整排版，請： 67460666 手機 137 8381 6366 聯(lián)系 性質(zhì) 1 有限多個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； 性質(zhì) 2 有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。記作 例如： 因為 ，所以稱 與 x 是等價無窮小量（當 時）。但是必須注意：等價無窮小量代換只能在極限的乘除運算中使用。 四則運算法
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