【正文】 19．（ 本小題滿分 14分 ） （ 本小題 主要考查數(shù)列 .導(dǎo)數(shù) .不等式 .數(shù)學(xué)歸納法 等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及 抽象概括能力 .運(yùn)算求解能力 和創(chuàng)新意識(shí) ） 解：（ 1）∵ 3yx? ，∴ 23yx?? ． 若切點(diǎn)是 3( , )nnnQ a a ， 則切線方程為 323 ( )n n ny a a x a? ? ?． ??????? 1 分 當(dāng) 1n? 時(shí)，切線過(guò)點(diǎn) 0(1,0)P ， 即： 321 1 10 3 (1 )a a a? ? ?， 依題意 1 0a? ．所以1 32a?． ??????? 2 分 當(dāng) 1n? 時(shí)，切線過(guò)點(diǎn) 11( ,0)nnPa?? ， 即： 32 10 3 ( )n n n na a a a?? ? ?， 依題意 0na? ，所以13 ( 1)2nna a n???． ?????? 3 分 所以數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 32， 公比為 32的等比數(shù)列．所以 32nna ???????． ???? 4 分 （ 2）記1 2 11 2 1nnnnnS a a a a??? ? ? ? ?， 因?yàn)?1 2 13nnaa???， 所以2 3 12 1 2 13 nnnnnS a a a a??? ? ? ? ?． ??????? 5 分 兩式相減， 得：1 2 11 1 1 13 nnnnS a a a a?? ? ? ? ? 212 2 2 23 3 3 3nnn ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 122133 22 313nnn???????????? ?????? ????? 1222133nnn ???? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ???． ??????? 7 分 ∴1nn i iiS a??? 1226 1 333nnn ???? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 26 2( 3) 3 nn ??? ? ? ????． ??????? 9 分 （ 3）證法 1： 112nna ???????? 20 1 21 1 12 2 2nnn n n nC C C C? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 01 1 1 ( 2 )22nn nC C n??? ? ? ? ????? ． ??????? 14 分 證法 2：當(dāng) 2n? 時(shí)， 22 3 9 5 2112 4 4 2a ??? ? ? ? ? ?????． ??????? 10 分 假設(shè) nk? 時(shí)，結(jié)論成立， 即 12k ka ??， 則1 3 3 1 3 1 11 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2kk k k k kaa? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????． 即 1nk??時(shí)． 1 11 2k ka ? ???． ??????? 13 分 綜上， 12n na ?? 對(duì) 2,n n N???都成立． ??????? 14分 20．（ 本小題滿分 14分 ） （ 本 小題主要考查 橢圓 .直線與圓錐曲線位置關(guān)系 等知識(shí)，考查 數(shù)形結(jié)合 .化歸與轉(zhuǎn)化 .函數(shù)與方程 的數(shù)學(xué)思想方法，以及 推理論證能力和 運(yùn)算求解能力 ） 解：（ 1） 2,NP NQ?? ∴ 點(diǎn) Q 為 PN 的中點(diǎn)， 又 0GQ NP??， GQ PN??或 G 點(diǎn)與 Q 點(diǎn)重合 ． ∴ .|||| GNPG ? ?? ?? 2 分 又 | | | | | | | | | | M G N G M G P PM? ? ? ? ? ∴ 點(diǎn) G 的軌跡是以 ,MN為焦點(diǎn)的橢圓， 且 2, 1ac??， ∴ 22 3,b a c G? ? ? ? ∴ G 的軌跡方程是 221.43xy?? ?? ?? 6 分 (2)解：不存在這樣一組正實(shí)數(shù)， 下面證明： ?? ?? 7 分 由題意，若存在這樣的一組正實(shí)數(shù)， 當(dāng)直線 MN 的斜率存在時(shí)，設(shè)之為 k ， 故直線 MN 的方程為： ( 1)y k x??， 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， AB 中點(diǎn) 00( , )Dx y ， 則221122143143xyxy? ?????? ????，兩式相減得： 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 043x x x x y y y y? ? ? ???． ?? ?? 9 分 注意到 12121yyx x k? ??? ， 且12012022xxxyyy?? ???? ????? ， 則 003 14xyk? ， ② 又點(diǎn) D 在直線 MN 上， 00( 1)y k x? ? ? ， 代入 ② 式得： 0 4x? ． 因?yàn)橄?AB 的中點(diǎn) D 在 ⑴ 所給橢圓 C 內(nèi)， 故 022x? ? ? ， 這與 0 4x? 矛盾， 所以所求這組正實(shí)數(shù)不存在． ?? ?? 13 分 當(dāng)直線 MN 的斜率不存在時(shí)， 直線 MN 的方程為 1x? ， 則此時(shí) 1 2 1 2,2y y x x? ? ?， 代入 ① 式得 120xx??， 這與 ,AB是不同兩點(diǎn)矛盾． 綜上，所求的這組正實(shí)數(shù)不存在． ?? ?? 14 分 21．（ 本小題滿分 14 分 ） 解 （ 本小題 主要考查 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 等知識(shí)，考查 分類討論， 化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及 推理論證能力和 運(yùn)算求解能力 ） :（ 1）根據(jù)函數(shù)解析式得 10,11xx???? ??? 解得 1x?? 且 0x? ． ?函數(shù) ()fx的定義域是 ? ?, 1 .x x R x? ? ? ?且 x0???? 3 分 （ 2） 1( ) ,( 1) ln ( 1)fx xx? ?? 22ln ( 1 ) 1() ( 1 ) ln ( 1 )xfx xx???? ? ? ?????????? 5 分 由 ( ) 0fx? ? 得 ln( 1) 1 ? ? ? 11 ??? ? ? ? ?函數(shù) ()fx的增區(qū)間為 1( 1, 1)e???． ?????????? 8 分 （ 3） 1 1 0,ex? ? ? ? 1 1 ?? ? ? ? 1 ln( 1) ? ? ? ? ? ln( 1) 1 0x? ? ? ? ?當(dāng) 1 10ex? ? ? ? 時(shí) , 22l n ( 1 ) 1( ) 0 .( 1 ) l n ( 1 )xfx xx??? ? ? ??? ?在區(qū)間 ? ?1,0? 上 , 當(dāng) 1 1xe???時(shí) , ()fx取得最大值． ? ? 1( ) ( 1 )f x f e e?? ? ? ? ?最 大 ．??????????? 10 分 112 ( 1)mx x? ??在 10x? ? ? 時(shí)恒成立． 1 ln 2 ln ( 1)1 mxx? ? ?? 在 10x? ? ? 時(shí)恒成立． ln 2( 1) ln ( 1)m xx?? ??在 10x? ? ? 時(shí)恒成立． ln 2( 1) ln( 1)xx??在 10x? ? ? 時(shí)的最大值等于 ln2e? ． ln ? ?? ?當(dāng) ln2me?? 時(shí)，不等式 112 ( 1)mx x? ??在 10x? ? ? 時(shí)恒成立． ??? 14 分 海淀區(qū)高三年級(jí)第 二 學(xué)期期 中 練習(xí) 數(shù) 學(xué) （ 理科 ） 選擇題 （共 40 分） 一、 選擇題：本大題共 8 小題 ,每小題 5 分 ,共 40 分 .在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,選出符合題目要求的一項(xiàng) . 已知集合 ? ?30 ???? xxA R ， ? ?42 ??? xxB R ，則 ?BA? A. ? ?32 ??xx B. ? ?32 ??xx C. ? ?322 ???? xxx 或 D. R 2．已知數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列， nS 是它的前 n 項(xiàng)和 .若 21?a ， 123?S ，則 ?4S A． 10 B． 16 C． 20 D． 24 3. 在極坐標(biāo)系下，已知圓 C 的方程為 2cosρ θ? ，則下列各點(diǎn)在圓 C 上的是 A． 1,3π??????? B． 1,6π?????? C． 32,4π?????? D． 52,4π?????? 4．執(zhí)行 如圖所示的程序框圖，若輸出 x 的 值為 23，則輸入的 x 值為 A． 0 B． 1 C． 2 D． 11 5． 已知平面 l??? ， m 是 ? 內(nèi)不同于 l 的直線，那么下列命題中 錯(cuò)誤 ． ． 的是 A．若 ?//m ，則 lm// B．若 lm// ，則 ?//m C．若 ??m ，則 lm? D．若 lm? ，則 ??m 6. 已知非零向量 ,abc 滿足 ? ? ?a b c ０ ，向量 ,ab的夾角為 120 ，且 | | 2| |?ba，則向量 a 與 c 的夾角為 A． ?60 B． ?90 C． ?120 D． ?150 ? 和實(shí)數(shù) ? 使得函數(shù) )(co s)( 2 ?? ?? xxf （ ? ， ? 為常數(shù)）的圖象如圖21xx??是否3n≤1nn??x輸 入開(kāi) 始1n?x輸 出結(jié) 束112yO x 所示（圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 1,0）），那么 ? 的值為 A． 1 B． 2 C． 3 D. 4 8．已知 拋物線 M ： 2 4yx= ， 圓 N ： 2