利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的四種常用方法-wenkub
2024-10-30 22 本頁(yè)面
【正文】 f(x)163。(x1)(xa)f(x)=f(b)+f162。x163。x163。(x)=,即px＝xyxyp1ppp1Q x206。(a,b)f(b)f(a)bap1pp例2 若0yx,p1則 py(xy)xyp1pypp1(xy)p1分析 因?yàn)?yx,則原不等式等價(jià)于pyxyxyppx(p1).令f(x)=t,則我們?nèi)菀茁?lián)想到Lagrange中值定理f(x)(xy)=p39。023\ ln(1+x)163。(x0)1!(xx0)+2f162。162。(x0)2!(xx0)+L+2f(n)(x0)n!(xx0)(n)+Rn(x)在上述公式中若Rn(x)163。泰勒公式。第一篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的四種常用方法利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的四種常用方法楊玉新(紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 浙江 紹興 312000)摘要: 通過(guò)舉例闡述了用導(dǎo)數(shù)證明不等式的四種方法,: 導(dǎo)數(shù)。Jensen不等式在初等數(shù)學(xué)中證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、用初等的方法證明會(huì)比較困難,利用導(dǎo)數(shù)為工具, 中值定理,函數(shù)的性質(zhì), Jensen不等式等四種方法證明不等式,、利用泰勒公式證明不等式若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義,并且有直到(n1)階的各階導(dǎo)數(shù),又在點(diǎn)x0處有n階的導(dǎo)數(shù)f(n)(x0),則有公式f(x)=f(x0)+f162。0(或Rn(x)179。(x0)2!2f(x)179。162。xx2+x3由以上證明可知,用泰勒公式證明不等式,首先構(gòu)造函數(shù),選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)x0在x0處展開,然后判斷余項(xiàng)Rn(x)的正負(fù),、利用中值定理證明不等式微分(Lagrange)中值定理: 若f(x)滿足以下條件:(1)f(x)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù)(2)f(x)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)39。f(x)f(y) 設(shè)f(t)=t,顯然f(t)在[y,x]滿足Lagrange中值定理的條件f(x)f(y)xyp1p則 $x206。(y,x)\ yxx, \py\ pyp1p1pxpx(xy)xpyppyp1(xy)例3 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)可導(dǎo),且f(a)=f(b)=0,則39。b4(ba)2242。b39。(x2)(xb)=f162。M(xa)及f(x)163。ba+b2f(x)dx 163。4(ba)2242。x163。 例4 設(shè)f(x)=bafg=f(a)242。xsinudu163。cosu+22235。(x+1)22x于是,x0時(shí)f(x)12x12x+12(x+1)12(x+1)+141(242。(x)g162。0219。證明F(x)163。) 證明作輔助函數(shù)f(x)=lnxln(x+1)x2ln(x+1)lnx(x1)于是有f162。)x1+x,可知f(x)f(x+1)ln(x+1)lnxln(x+2)ln(x+1)即所以ln2(x+1)lnxln(x+2).例6證明不等式xx22ln(1+x)x,其中x因?yàn)槔?中不等式的不等號(hào)兩邊形式不一樣,對(duì)它作差ln(1+x)(x2),(1+x)求導(dǎo)得211+x,先證 xx2ln(1+x)x21+x)(x設(shè)f(x)=ln(2)(x0)11+xx2則f(0)=ln1(+0)0=0f(x)=39。(x)=11+x1１Q x0 \ 1１+x\ g162。(x)與g162。=1+,設(shè)f(x)=tgx g(x)=x+則（1）f(0)=g(0)=013x322（2）f162。(0)=1（3）f162。(x)=2x,f162。(0)=1（4）f162。162。162。(x)由推論2得，tgxx+13x（0x2p2）.,來(lái)判定函數(shù)的增減性,、利用Jensen(琴森)不等式證明不等式定義[1] 如果f(x)在(a,b)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)f(x)則(1)若對(duì)x206。(a,b)有f162。li=1,有i=1Jensen(琴森)不等式230。lixi247。nn230。或f231。229。nn229。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=L= 證明下列不等式n1a1+1a2+L+1an163。na1證明 令f(x)=lnx(x0)因?yàn)?f162。(0,+165。(a1+a2+L+an)n即 ln1n233。234。1xa1+a2+L+ann令 f(x)=ln, 則同理可得n1a1+1a2+L+1an163。162。f[1a242。229。229。0,故f(x)為凸函數(shù),在Jensen不等式 f(q1x1+q2x2+L+qnxn)163。K=0f[u(Kan)]由f(x)的連續(xù)性,在上式取n174。Theorem of mean。[0,+165。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165。(x)=11x 可得：當(dāng)x206。例2：當(dāng)x206。(0,p),∴f39。點(diǎn)評(píng)：一般地，證明f(x)g(x),x206。(a,b)時(shí)，有F(x)0,即證明了f(x)g(x)。(x)=0時(shí)，g39。(x)0在(0,+165。2分析 只要把要證的不等式變形為ln(x+1)ln(x+2),然后把x相對(duì)固定看作常數(shù),并選取輔助函lnxln(x+1)數(shù)f(x)=ln(x+1).則只要證明f(x)在(0,+165。(x)0,所以f(x)在區(qū)間(1,+165。(x)=0 ,即在(0,+165。(x)0 １+xx2\ xln(1+x)x 練習(xí)：3（2001年全國(guó)卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。難點(diǎn)在于找這個(gè)一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過(guò)這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對(duì)培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。(a)=12a當(dāng)00。/2cosx如果它要證x178。/2cosx10
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1