高中數(shù)學(xué)3-1-4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示課件新人教a版選修2-1-wenkub
2022-12-11 12:27:06 本頁面
【正文】 ：一是所選的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的模及其夾角已知或易求． 選定基底后，各基向量的系數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組就是向量在該基底下的坐標(biāo)．同一基底下的向量運(yùn)算可以簡化為坐標(biāo)進(jìn)行．一般情況下，選的基底是單位正交基底． 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示的理解 (1)建立空間直角坐標(biāo)系 O－ x軸、 y軸、 z軸的正方向引單位向量 i， j， k，則 {i， j， k}叫做單位正交基底．單位向量 i， j， k都叫做坐標(biāo)向量． 名師點(diǎn)睛 1． 2． (2)在空間直角坐標(biāo)系中，已知任一向量 a，根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一實(shí)數(shù)組 (a1， a2， a3)使 a＝ a1i＋ a2j＋a3k， a1i， a2j， a3k分別為向量 a在 i， j， k方向上的分向量，有序?qū)崝?shù)組 (a1， a2， a3)叫做向量 a在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，可記作 a＝ (a1， a2， a3)． (3)空間任一點(diǎn) P的坐標(biāo)的確定，如圖所示，過點(diǎn) P作面 xOy的垂線，垂足為 P′，在面 xOy中，過 P′分別作 x軸、 y軸的垂線，垂足分別為A， C，則 |x|＝ P′C， |y|＝ AP′， |z|＝PP′. 空間中一點(diǎn) P(a， b， c)關(guān)于 xOy面、 xOz面、 yOz面、 x軸、 y軸、 z軸及坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 P1(a， b，－ c)，P2(a，－ b， c)， P3(－ a， b， c)， P4(a，－ b，－ c)， P5(－ a，b，－ c)， P6(－ a，－ b， c)， P7(－ a，－ b，－ c)． 題型一 基底的判斷 若 {a， b， c}是空間的一個基底，判斷 {a＋ b， b＋ c， c＋ a}能否作為該空間的一個基底． [思路探索 ] 可先用反證法判斷 a＋ b， b＋ c， c＋ a是否共面，若不共面，則可作為一個基底，否則不能作為一個基底． 【 例 1】 解 假設(shè) a＋ b， b＋ c， c＋ a共面，則存在實(shí)數(shù) λ， μ使得 a＋ b＝ λ(b＋ c)＋ μ(c＋ a)， ∴ a＋ b＝ λb＋ μa＋ (λ＋ μ)c. ∵ {a， b， c}為基底， ∴ a， b， c不共面， ∴????? 1 ＝ μ ，1 ＝ λ ，0 ＝ λ ＋ μ ，此方程組無解 ． ∴ a ＋ b ， b ＋ c ， c ＋ a 不共面 ． ∴ { a ＋ b ， b ＋ c ， c ＋ a } 可以作為空間一個基底 ． 規(guī)律方法 判斷三個向量 a， b， c能否作為基底，關(guān)鍵是理解基底的概念，只有空間中三個不共面的向量才能構(gòu)成空間向量的一個基底．判斷 a， b， c三個向量是否共面，常用反證法，即判斷三個向量是否滿足 a＝ λb＋ μb，若滿足則共
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