20xx年河南省鄭州市、平頂山市、濮陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)二模試卷文科word版含解析-wenkub
2022-12-09 18:35:36 本頁(yè)面
【正文】 ． 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖；莖葉圖． 【分析】 （ Ⅰ ）利用莖葉圖能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，從莖葉圖來(lái)看，女生打分相對(duì)集中，男生打分相對(duì)分散． （ Ⅱ ） 20 名學(xué)生中，打分區(qū)間 [0， 60）、 [60， 70）、 [70， 80）、 [80， 90）、 [90，100]中的學(xué) 生數(shù)分別為： 2 人， 4 人， 9 人， 4 人， 1 人，打分區(qū)間 [70， 80）的人數(shù)最多，有 9 人，所點(diǎn)頻率為 ，由此能求出最高矩形的高． （ Ⅲ ）打分在 70 分以下（不含 70 分）的同學(xué)有 6 人，其中男生 4 人，女生 2人，有女生被抽中的對(duì)立事件是抽中的 3 名同學(xué)都是男生，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出有女生被抽中的概率． 【解答】 解：（ Ⅰ ）女生打分的平均分為： = （ 68+69+75+76+70+79+78+82+87+96） =78， 男生打分的平均分為： = （ 55+53+62+65+71+70+73+74+86+81） =69． 從莖葉圖來(lái)看，女生打分相對(duì)集中，男生打分相對(duì)分散． （ Ⅱ ） 20 名學(xué)生中，打分區(qū)間 [0， 60）、 [60， 70）、 [70， 80）、 [80， 90）、 [90，100]中的學(xué)生數(shù)分別為： 2 人， 4 人， 9 人， 4 人， 1 人， 打分區(qū)間 [70， 80）的人數(shù)最多，有 9 人，所點(diǎn)頻率為： =， ∴ 最高矩形的高 h= =． （ Ⅲ ）打分在 70 分以下（不含 70 分）的同學(xué)有 6 人，其中男生 4 人，女生 2人， 從中抽取 3 人，基本事件總數(shù) n= =20， 有女生被抽中的對(duì)立事件是抽中的 3 名同學(xué)都是男生， ∴ 有女生被抽 中的概率 p=1﹣ =1﹣ = ． 19．如圖，高為 1 的等腰梯形 ABCD 中， AM=CD= AB=1， M 為 AB 的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將 △ AMD 沿 MD 折起，使平面 AMD⊥ 平面 MBCD，連接 AB、 AC． （ Ⅰ ）在 AB 邊上是否存在點(diǎn) P，使 AD∥ 平面 MPC？ （ Ⅱ ） 當(dāng) 點(diǎn) P 為 AB 邊 中 點(diǎn) 時(shí) ， 求 點(diǎn) B 到 平 面 MPC 的距離． 【考點(diǎn)】 點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面平行的判定． 【分析】 （ Ⅰ ）在 AB 邊上存在點(diǎn) P，滿足 PB=2PA，使 AD∥ 平面 MPC，證明AD∥ OP，即可證明 AD∥ 平面 MPC？ （ Ⅱ ）當(dāng)點(diǎn) P 為 AB 邊中點(diǎn)時(shí)，利用等體積 方法，即可求點(diǎn) B 到平面 MPC 的距離． 【解答】 解：（ Ⅰ ）在 AB 邊上存在點(diǎn) P，滿足 PB=2PA，使 AD∥ 平面 MPC． 連接 BD，交 MC 于 O，連接 OP，則由題意， DC=1， MB=2， ∴ OB=2OD， ∵ PB=2PA， ∴ OP∥ AD， ∵ AD?平面 MPC， OP? 平面 MPC， ∴ AD∥ 平面 MPC； （ Ⅱ ）由題意， AM⊥ MD，平面 AMD⊥ 平面 MBCD， ∴ AM⊥ 平面 MBCD， ∴ P 到平面 MBC 的距離為 ， △ MBC 中， MC=BC= ， MB=2， ∴ MC⊥ BC， ∴ S△ MBC= =1， △ MPC 中， MP= =CP， MC= ， ∴ S△ MPC= = ． 設(shè)點(diǎn) B 到平面 MPC 的距離為 h，則由等體積可得 ， ∴ h= ． 20．已知?jiǎng)訄A M 恒過(guò)點(diǎn)（ 0， 1），且與直線 y=﹣ 1 相切． （ 1）求圓心 M 的軌跡方程； （ 2）動(dòng)直線 l 過(guò)點(diǎn) P（ 0，﹣ 2），且與點(diǎn) M 的軌跡交于 A、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C 與點(diǎn) B關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，求證：直線 AC 恒過(guò)定點(diǎn)． 【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；軌跡方程． 【分析】 （ 1）由題意可知圓心 M 的軌跡為以（ 0， 1）為焦點(diǎn)，直線 y=﹣ 1 為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線的方程即可求得圓心 M 的軌跡方程； （ 2）由題意可知直線 l 的斜率存在，設(shè)直線 l 的方程為： y=kx﹣ 2， A（ x1， y1），B（ x2， y2），則 C（﹣ x2， y2）．代入拋物線方，由韋達(dá)定理及直線直線 AC 的方程為： y﹣ y2=﹣ （ x+x2），把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得 4y=（ x2﹣ x1） x+8，令 x=0，即可得出直線恒過(guò)定點(diǎn)． 【解答】 解：（ 1） ∵ 動(dòng)點(diǎn) M 到直線 y=﹣ 1 的距離等于到定點(diǎn) C（ 0， 1）的距離， ∴ 動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡為拋物線，且 =1，解得： p=2， ∴ 動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程為 x2=4y； （ 2）證明：由題意可知直線 l 的斜率存在， 設(shè)直線 l 的方程為： y=kx﹣ 2， A（ x1， y1）， B（ x2， y2），則 C（ ﹣ x2， y2）． 聯(lián)立 ，化為 x2﹣ 4kx+8=0， △ =16k2﹣ 32＞ 0， 解得 k＞ 或 k＜ ﹣ ． ∴ x1+x2=4k， x1x2=8． 直線直線 AC 的方程為： y﹣ y2=﹣ （ x+x2）， 又 ∵ y1=kx1﹣ 2， y2=kx2﹣ 2， ∴ 4ky﹣ 4k（ kx2﹣ 2） =（ kx2﹣ kx1） x+kx1x2﹣ kx22， 化為 4y=（ x2﹣ x1） x+x2（ 4k﹣ x2）， ∵ x1=4k﹣ x2， ∴ 4y=（ x2﹣ x1） x+8， 令 x=0，則 y=2， ∴ 直線 AC 恒過(guò)一定點(diǎn)（ 0， 2）． 21．已知函數(shù) f（ x） =ax+lnx． （ Ⅰ ）若 f（ x）在區(qū)間（ 0， 1）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ Ⅱ ）設(shè)函數(shù) h（ x） =﹣ x2﹣ f（ x）有兩個(gè)極值點(diǎn) x x2，且 x1∈ [ ， 1），求證： |h（ x1）﹣ h（ x2） |＜ 2﹣ ln2． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】 （ I）令 f′（ x） ≥ 0 在（ 0， 1）上恒成立，使用分離參數(shù)法求出 a 的范圍； （ II）令 h′（ x） =0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和極值點(diǎn)的定義可判斷 h（ x1） ＜ h（ x2），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn) |h（ x1）﹣ h（ x2） |=﹣ x12+ +2lnx1，求出 右側(cè)函 數(shù)的最大值即可證明結(jié)論． 【解答】 解：（ I） ∵ f（ x）在區(qū)間（ 0， 1）上單調(diào)遞增， ∴ f′（ x） =a+ ≥ 0， x∈ （ 0， 1）， 即 a ， ∵ x∈ （ 0， 1）， ∴ ﹣ ＜ ﹣ 1， ∴ a≥ ﹣ 1．
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