20xx秋新人教a版高中數(shù)學(xué)必修一131函數(shù)的最大小值word精講精析-wenkub
2022-11-30 12:06:20 本頁面
【正文】 2 ) 321yf ?? ? ?? 例 3. 已知函數(shù) 2 2() x x afx x??? ，若對(duì)任意 [1, )x? ?? ， ( ) 0fx? 恒成立，試求實(shí)數(shù) a的取值范圍 解：對(duì)任意 [1, )x? ?? 有 ( ) 0fx? 恒成立 2 20x x a? ? ? ?對(duì)任意 [1, )x? ?? 恒成立 2 2a x x? ? ? ? 對(duì)任意 [1, )x? ?? 恒成立，設(shè) 2( ) 2g x x x?? ? ，則 max[ ( )]a g x? 而 22( ) 2 ( 1 ) 1g x x x x? ? ? ? ? ? ?，由 ()gx 的圖象可知， ()gx 在 [1, )?? 上是減函數(shù) ∴當(dāng) 1x? 時(shí)， m ax[ ( )] (1) 3g x g? ? ?， 于是當(dāng)且僅當(dāng) 3a?? 時(shí)，函數(shù) f (x)＞ 0恒成立，即實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 ( 3, )? ?? . 例 2( ) 2 3 ( [ , 2] )f x x x x t t? ? ? ? ? （ 1）若 2t ?? ，求 ()fx的最小值；（ 2）若 12t ??，求 ()fx的最小值；（ 3）若 2t ? ，求 ()fx的最小值；（ 4）若 tR? 時(shí)， ()fx的最小值為 ()gt ，求 ()gt 的表達(dá)式 解：∵ 22( ) 2 3 ( 1 ) 4f x x x x? ? ? ? ? ?， ?對(duì)稱軸 1x? ， ()fx的圖象如圖： （ 1）若 2t?? ，則 ()fx在 [ 2,0]? 上遞減， ()fx的最小值 為 (0) 3f ?? ； （ 2）若 12t?? ，則 ()fx在 1[ ,1]2? 上遞減， ()fx在 3[1, ]2 上遞減，所以 ()fx的最小值 為 (1) 4f ?? ； （ 3）若 2t? ，則 ()fx在 [2,4] 上遞增， ()fx的最小值為 (2) 3f ?? ； （ 4）當(dāng) 21t??即 1t?? 時(shí)， ()fx在 [ , 2]tt? 上遞減， ()fx的最小值為2( 2) 2 3f t t t? ? ? ?. 當(dāng) 1t? 時(shí)， ()fx在 [ , 2]tt? 上遞增， ()fx的最小值為 2( ) 2 3f t t t? ? ?. 當(dāng) 12tt? ? ? 即 11t? ? ? 時(shí)，則 ()fx在 [,1]t 上遞減， ()fx在 [1, 2]t? 上遞減，所以 ()fx的最小值為 (1) 4f ?? ， 從而 ()gt 的表達(dá)式為222 3 ( 1 )( ) 4 ( 1 1 )2 3 ( 1 )t t tg t tt t t? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 精練部分 A 類試題（普通班用） 1. 函數(shù) y＝ 3x＋ 2x－ 2(x≠ 2)的值域是 ( ) A． [2，＋∞ ) B． (－∞， 2] C． {y|y∈ R且 y≠ 2} D． {y|y∈ R且 y≠ 3} [答案 ] D [解析 ] y＝ 3x＋ 2x－ 2＝ 3(x－ 2)＋ 8x－ 2 ＝ 3＋ 8x－ 2，由于 8x－ 2≠ 0，∴ y≠ 3，故選 D. 2．已知函數(shù) f(x)＝ x2＋ 2x＋ 3x (x∈ [2，＋∞ ))， (1)證明函數(shù) f(x)為增函數(shù)． (2)求 f(x)的最小值． [解析 ] 將函數(shù)式化為： f(x)＝ x＋ 3x＋ 2 (1)任取 x1， x2∈ [2，＋∞ )，且 x1＜ x2， f(x1)－ f(x2)＝ (x1－ x2)(1－ 3x1x2)． ∵ x1＜ x2， ∴ x1－ x2＜ 0， 又∵ x1≥ 2， x2＞ 2，∴ x1x2＞ 4,1－
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