【正文】 需要補(bǔ)償?shù)氖杖胧钦模@因?yàn)橄M(fèi)者需要幫助才能留在 U2 120 補(bǔ)償和非補(bǔ)償需求 x的數(shù)量 px x xc px’’ x*** x’’’ px’’’ 如果價(jià)格水平 px2, 需要補(bǔ)償?shù)氖杖胧秦?fù)的以阻止因?yàn)閮r(jià)格下降導(dǎo)致的效用上升 121 補(bǔ)償和非補(bǔ)償需求 ? 對(duì)于正常商品 , 相對(duì)于非補(bǔ)償需求曲線，補(bǔ)償需求曲線對(duì)于價(jià)格變化的反應(yīng)較小 – 非補(bǔ)償需求曲線反映了收入效應(yīng)和替代效應(yīng) – 補(bǔ)償需求曲線僅僅反映了替代效應(yīng) 122 補(bǔ)償需求函數(shù) ? 假設(shè)效用函數(shù)為 效用 = U(x,y) = ? 馬歇爾需求函數(shù)是 x = I/2px y = I/2py ? 間接效用函數(shù)是 ( , , ) 2xyxyV p p pp??效 用 II123 補(bǔ)償需求函數(shù) ? 為了獲得補(bǔ)償需求函數(shù) , 我們從間接效用函數(shù)中解出 I ，然后替換進(jìn)馬歇爾需求函數(shù) xypVpx ?yxpVpy ?124 補(bǔ)償需求函數(shù) ? 需求現(xiàn)在依賴于效用 (V) 而不是收入 ? px 的上升減少 x 的需求數(shù)量 – 僅僅是替代效應(yīng) xypVpx ?yxpVpy ?125 價(jià)格變化的數(shù)學(xué)考察 ? 我們的目標(biāo)是考察商品 x 的購買數(shù)量如何隨著 px 的變化而變化 ?x/?px ? 對(duì)效用最大化的一階條件求微分，可以獲得這個(gè)導(dǎo)數(shù) ? 不過 , 這種方法很累贅，同時(shí)難以提供什么經(jīng)濟(jì)含義 126 價(jià)格變化的數(shù)學(xué)考察 ? 事實(shí)上 , 我們可以利用間接的方法 ? 回憶一下支出函數(shù) 最小支出 = E(px,py,U) ? 那么 , 根據(jù)定義 xc (px,py,U) = x [px,py,E(px,py,U)] – 當(dāng)收入恰好是獲得所要求的效用需要滿足的收入的時(shí)候，兩個(gè)需求函數(shù)的需求數(shù)量相等 127 價(jià)格變化的數(shù)學(xué)考察 ? 我們可以對(duì)兩邊微分 xc (px,py,U) = x[px,py,E(px,py,U)] xxxcpEExpxpx??????????? xxcx pEExpxpx??????????? 128 價(jià)格變化的數(shù)學(xué)考察 ? 第一項(xiàng)是補(bǔ)償需求曲線的斜率 – 替代效應(yīng)的數(shù)學(xué)表示 xxcx pEExpxpx??????????? 129 價(jià)格變化的數(shù)學(xué)考察 ? 第二項(xiàng)測(cè)量了 px 變化通過改變購買力所影響的對(duì) x 的需求數(shù)量 – 收入效應(yīng)的數(shù)學(xué)表示 xxcx pEExpxpx??????????? 130 斯盧茨基方程 ? 替代效應(yīng)可以寫成 ? 收入效應(yīng)可以寫成 131 斯盧茨基方程 ? 注意 ?E/?px = x – px 上升￥ 1， 需要支出增加 ￥ x – 額外的￥ 1必須支付給每一購買的 x 132 斯盧茨基方程 ? 效用最大化假說表明來自于價(jià)格變化的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)可以表示為 133 斯盧茨基方程 ? 第一項(xiàng)是替代效應(yīng) – 如果 MRS 是遞減的，那么總是負(fù)的 – 補(bǔ)償需求曲線的斜率一定是負(fù)的 134 斯盧茨基方程 ? 第二項(xiàng)是收入效應(yīng) – 如果 x 是正常品 , 那么 ?x/?I 0 ? 總收入效應(yīng)是負(fù)的 – 如果 x 是劣等品 , 那么 ?x/?I 0 ? 總收入效應(yīng)是正的 135 斯盧茨基分解 ? 我們可以利用柯布 ——道格拉斯效用函數(shù)來說明價(jià)格效應(yīng)的分解 ? 商品 x 的馬歇爾需求函數(shù)是 xyx pppxII ),( ?136 斯盧茨基分解 ? 商品 x 的希克斯 (補(bǔ)償 ) 需求函數(shù) ),(xyyxcpVpVppx ?? 價(jià)格變化對(duì)于 x 需求的總效應(yīng)是 2xx ppx I????137 斯盧茨基分解 ? 總效應(yīng)是斯盧茨基識(shí)別的兩種效應(yīng)的總和 ? 通過對(duì)補(bǔ)償需求函數(shù)求導(dǎo)可以獲得替代效應(yīng) 0 . 51 . 50 . 5 cyxxVpxpp?????替 代 效 應(yīng)138 斯盧茨基分解 ? 我們可以帶入間接效用函數(shù) (V) 0 . 5 0 . 5 0 . 51 . 5 20 . 5 ( 0 . 5 ) 0 . 2 5 x y yxxp p ppp??? ???替 代 效 應(yīng) I I139 斯盧茨基分解 ? 收入效應(yīng)的計(jì)算比較容易 20 . 5 0 . 5 0 . 2 5 x x xxxp p p???? ? ? ? ? ? ??????收 入 效 應(yīng) III? 有趣的是 , 替代效應(yīng)和收入效應(yīng)相同 140 馬歇爾需求彈性 ? 大多數(shù)經(jīng)常使用的需求彈性來自于馬歇爾需求函數(shù) x(px,py,I) ? 需求的價(jià)格彈性 (ex,px) xppxppxxe xxxxpx x ???????//,141 馬歇爾需求彈性 ? 需求的收入彈性 (ex,I) xxxxexIIIII ???????//,? 需求的交叉價(jià)格彈性 (ex,py) xppxppxxe yyyypx y ???????//,142 需求的價(jià)格彈性 ? 需求的自身價(jià)格彈性總是負(fù)的 – 唯一的例外是吉芬悖論 ? 彈性的大小很重要 – 如果 ex,px 1, 需求富有彈性 – 如果 ex,px 1, 需求無彈性 – 如果 ex,px = 1, 需求就有單位彈性 143 價(jià)格彈性和總支出 ? 在商品 x 上的總支出等于 總支出 =pxx ? 利用彈性 , 我們可以確定商品 x價(jià)格發(fā)生變化之后，總支出怎么變化 ]1[)( , ?????????xpxxxxx exxpxppxp144 價(jià)格彈性和總支出 ? 這個(gè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)取決于 ex,px 大于還是小于 1 – 如果 ex,px 1, 需求缺乏彈性，價(jià)格和總支出變化方向相同 – 如果 ex,px 1, 需求富有彈性，價(jià)格和總支出變化方向相反 ]1[)( , ?????????xpxxxxx exxpxppxp145 補(bǔ)償價(jià)格彈性 ? 基于補(bǔ)償需求函數(shù)定義彈性有時(shí)候也是有用的 146 補(bǔ)償價(jià)格彈性 ? 如果補(bǔ)償需求函數(shù)是 xc = xc(px,py,U) 我們可以計(jì)算 – 補(bǔ)償需求的自身價(jià)格彈性 (exc,px) – 補(bǔ)償需求的交叉價(jià)格彈性 (exc,py) 147 補(bǔ)償價(jià)格彈性 ? 補(bǔ)償需求的自身價(jià)格彈性 (exc,px)是 cxxcxxcccpx xppxppxxex???????//,? 補(bǔ)償需求的交叉價(jià)格彈性 (exc,py) 是 cyycyycccpx xppxppxxey???????//,148 補(bǔ)償價(jià)格彈性 ? 馬歇爾價(jià)格彈性和補(bǔ)償價(jià)格彈性之間的關(guān)系可以利用斯盧茨基方程來說明 I????????????? xxxppxxpepxxp xxccxpxxxx,I, xxc pxpx esee xx ??? 如果 sx = pxx/I, 那么 149 補(bǔ)償價(jià)格彈性 ? 斯盧茨基方程表明補(bǔ)償?shù)暮臀囱a(bǔ)償?shù)膬r(jià)格彈性將會(huì)很接近，如果 – 投入到 x 的收入份額很小 – x 的收入彈性很小 150 齊次 ? 需求函數(shù)對(duì)于所有價(jià)格和收入是零次齊次的 ? 齊次函數(shù)的歐拉定理表明 II ???????????? xpxppxpyyxx 0151 齊次 ? 兩邊同時(shí)除以 x, 得到 I,0 xpxpx eee yx ???? 所有價(jià)格和收入的任意比例變化不改變 x 的需求數(shù)量 152 恩格爾加總 ? 通過將預(yù)算約束對(duì)收入（將價(jià)格看作常數(shù)）微分，我們可以看到 II ???????? ypxpyx1IIIIIIII ,1 yyxxyx esesyyypxxxp ????????????153 恩格爾加總 ? 恩格爾定律表明食品的需求收入彈性小于 1 – 這意味著所有非食品的需求收入彈性必須大于 1 154 古諾加總 ? 因?yàn)轭A(yù)算約束的存在，商品 x 價(jià)格變化對(duì)于商品 y 消費(fèi)量的交叉價(jià)格效應(yīng)受到限制 ? 為了看到這一點(diǎn)，我們可以將預(yù)算約束對(duì) px 微分 155 古諾加總 xyxxx pypxpxpp ???????????? 0Iyyppyppxxxppxp xxyxxxx ??????????????III0xx pyyxpxx esses ,0 ???xpyypxx seses xx ??? ,156 需求彈性 ? 柯布－道格拉斯效用函數(shù) U(x,y) = x?y? (?+?=1) ? x 和 y 的需求函數(shù) xpx I??ypy I??157 需求彈性 ? 計(jì)算彈性 1 2, ?????????? ?????????xxxxxpxpppxppxex II00 , ??????? xpxppxe yyypx y1 , ????????? ????????xxxppxxeIIIII158 需求彈性 ? 我們可以看到 – 齊次性 0101, ??????? Ixpxpx eee yx– 恩格爾加總 111, ???????????? II yyxx eses– 古諾加總 xpyypxx seses xx ????????????? 0)1(,159 需求彈性 ? 我們也可以利用斯盧茨基方程獲得補(bǔ)償價(jià)格彈性 ???????????? 1)1(1, Ixxpxc px esee xx? 補(bǔ)償價(jià)格彈性取決于其他商品 (y)在效用函數(shù)中有多重要 160 需求彈性 ? CES 效用函數(shù) (其中 ? = 2, ? = 5) U(x,y) = + ? x 和 y 的需求函數(shù) )1( 1??? yxx pppxI)1( 1 yxy pppy ???I161 需求彈性 ? 我們利用 “份額彈性 ‖ 來獲得自身價(jià)格彈性 xxx pxxxxxps esppse, 1 ??????? 在這個(gè)例子中 , 111????yxxx ppxpsI162 需求彈性 ? 因此 , 份額彈性為 1111211, 1)1()1( ??????????????????yxyxyxxyxyxxxxps ppppppppppsppsexx? 所以 , 如果我們令 px = py