【正文】 需要補償?shù)氖杖胧钦?，這因為消費者需要幫助才能留在 U2 120 補償和非補償需求 x的數(shù)量 px x xc px’’ x*** x’’’ px’’’ 如果價格水平 px2, 需要補償?shù)氖杖胧秦摰囊宰柚挂驗閮r格下降導致的效用上升 121 補償和非補償需求 ? 對于正常商品 , 相對于非補償需求曲線，補償需求曲線對于價格變化的反應較小 – 非補償需求曲線反映了收入效應和替代效應 – 補償需求曲線僅僅反映了替代效應 122 補償需求函數(shù) ? 假設效用函數(shù)為 效用 = U(x,y) = ? 馬歇爾需求函數(shù)是 x = I/2px y = I/2py ? 間接效用函數(shù)是 ( , , ) 2xyxyV p p pp??效 用 II123 補償需求函數(shù) ? 為了獲得補償需求函數(shù) , 我們從間接效用函數(shù)中解出 I ，然后替換進馬歇爾需求函數(shù) xypVpx ?yxpVpy ?124 補償需求函數(shù) ? 需求現(xiàn)在依賴于效用 (V) 而不是收入 ? px 的上升減少 x 的需求數(shù)量 – 僅僅是替代效應 xypVpx ?yxpVpy ?125 價格變化的數(shù)學考察 ? 我們的目標是考察商品 x 的購買數(shù)量如何隨著 px 的變化而變化 ?x/?px ? 對效用最大化的一階條件求微分，可以獲得這個導數(shù) ? 不過 , 這種方法很累贅，同時難以提供什么經(jīng)濟含義 126 價格變化的數(shù)學考察 ? 事實上 , 我們可以利用間接的方法 ? 回憶一下支出函數(shù) 最小支出 = E(px,py,U) ? 那么 , 根據(jù)定義 xc (px,py,U) = x [px,py,E(px,py,U)] – 當收入恰好是獲得所要求的效用需要滿足的收入的時候，兩個需求函數(shù)的需求數(shù)量相等 127 價格變化的數(shù)學考察 ? 我們可以對兩邊微分 xc (px,py,U) = x[px,py,E(px,py,U)] xxxcpEExpxpx??????????? xxcx pEExpxpx??????????? 128 價格變化的數(shù)學考察 ? 第一項是補償需求曲線的斜率 – 替代效應的數(shù)學表示 xxcx pEExpxpx??????????? 129 價格變化的數(shù)學考察 ? 第二項測量了 px 變化通過改變購買力所影響的對 x 的需求數(shù)量 – 收入效應的數(shù)學表示 xxcx pEExpxpx??????????? 130 斯盧茨基方程 ? 替代效應可以寫成 ? 收入效應可以寫成 131 斯盧茨基方程 ? 注意 ?E/?px = x – px 上升￥ 1， 需要支出增加 ￥ x – 額外的￥ 1必須支付給每一購買的 x 132 斯盧茨基方程 ? 效用最大化假說表明來自于價格變化的替代效應和收入效應可以表示為 133 斯盧茨基方程 ? 第一項是替代效應 – 如果 MRS 是遞減的，那么總是負的 – 補償需求曲線的斜率一定是負的 134 斯盧茨基方程 ? 第二項是收入效應 – 如果 x 是正常品 , 那么 ?x/?I 0 ? 總收入效應是負的 – 如果 x 是劣等品 , 那么 ?x/?I 0 ? 總收入效應是正的 135 斯盧茨基分解 ? 我們可以利用柯布 ——道格拉斯效用函數(shù)來說明價格效應的分解 ? 商品 x 的馬歇爾需求函數(shù)是 xyx pppxII ),( ?136 斯盧茨基分解 ? 商品 x 的?？怂? (補償 ) 需求函數(shù) ),(xyyxcpVpVppx ?? 價格變化對于 x 需求的總效應是 2xx ppx I????137 斯盧茨基分解 ? 總效應是斯盧茨基識別的兩種效應的總和 ? 通過對補償需求函數(shù)求導可以獲得替代效應 0 . 51 . 50 . 5 cyxxVpxpp?????替 代 效 應138 斯盧茨基分解 ? 我們可以帶入間接效用函數(shù) (V) 0 . 5 0 . 5 0 . 51 . 5 20 . 5 ( 0 . 5 ) 0 . 2 5 x y yxxp p ppp??? ???替 代 效 應 I I139 斯盧茨基分解 ? 收入效應的計算比較容易 20 . 5 0 . 5 0 . 2 5 x x xxxp p p???? ? ? ? ? ? ??????收 入 效 應 III? 有趣的是 , 替代效應和收入效應相同 140 馬歇爾需求彈性 ? 大多數(shù)經(jīng)常使用的需求彈性來自于馬歇爾需求函數(shù) x(px,py,I) ? 需求的價格彈性 (ex,px) xppxppxxe xxxxpx x ???????//,141 馬歇爾需求彈性 ? 需求的收入彈性 (ex,I) xxxxexIIIII ???????//,? 需求的交叉價格彈性 (ex,py) xppxppxxe yyyypx y ???????//,142 需求的價格彈性 ? 需求的自身價格彈性總是負的 – 唯一的例外是吉芬悖論 ? 彈性的大小很重要 – 如果 ex,px 1, 需求富有彈性 – 如果 ex,px 1, 需求無彈性 – 如果 ex,px = 1, 需求就有單位彈性 143 價格彈性和總支出 ? 在商品 x 上的總支出等于 總支出 =pxx ? 利用彈性 , 我們可以確定商品 x價格發(fā)生變化之后，總支出怎么變化 ]1[)( , ?????????xpxxxxx exxpxppxp144 價格彈性和總支出 ? 這個導數(shù)的符號取決于 ex,px 大于還是小于 1 – 如果 ex,px 1, 需求缺乏彈性，價格和總支出變化方向相同 – 如果 ex,px 1, 需求富有彈性，價格和總支出變化方向相反 ]1[)( , ?????????xpxxxxx exxpxppxp145 補償價格彈性 ? 基于補償需求函數(shù)定義彈性有時候也是有用的 146 補償價格彈性 ? 如果補償需求函數(shù)是 xc = xc(px,py,U) 我們可以計算 – 補償需求的自身價格彈性 (exc,px) – 補償需求的交叉價格彈性 (exc,py) 147 補償價格彈性 ? 補償需求的自身價格彈性 (exc,px)是 cxxcxxcccpx xppxppxxex???????//,? 補償需求的交叉價格彈性 (exc,py) 是 cyycyycccpx xppxppxxey???????//,148 補償價格彈性 ? 馬歇爾價格彈性和補償價格彈性之間的關系可以利用斯盧茨基方程來說明 I????????????? xxxppxxpepxxp xxccxpxxxx,I, xxc pxpx esee xx ??? 如果 sx = pxx/I, 那么 149 補償價格彈性 ? 斯盧茨基方程表明補償?shù)暮臀囱a償?shù)膬r格彈性將會很接近，如果 – 投入到 x 的收入份額很小 – x 的收入彈性很小 150 齊次 ? 需求函數(shù)對于所有價格和收入是零次齊次的 ? 齊次函數(shù)的歐拉定理表明 II ???????????? xpxppxpyyxx 0151 齊次 ? 兩邊同時除以 x, 得到 I,0 xpxpx eee yx ???? 所有價格和收入的任意比例變化不改變 x 的需求數(shù)量 152 恩格爾加總 ? 通過將預算約束對收入（將價格看作常數(shù)）微分，我們可以看到 II ???????? ypxpyx1IIIIIIII ,1 yyxxyx esesyyypxxxp ????????????153 恩格爾加總 ? 恩格爾定律表明食品的需求收入彈性小于 1 – 這意味著所有非食品的需求收入彈性必須大于 1 154 古諾加總 ? 因為預算約束的存在，商品 x 價格變化對于商品 y 消費量的交叉價格效應受到限制 ? 為了看到這一點，我們可以將預算約束對 px 微分 155 古諾加總 xyxxx pypxpxpp ???????????? 0Iyyppyppxxxppxp xxyxxxx ??????????????III0xx pyyxpxx esses ,0 ???xpyypxx seses xx ??? ,156 需求彈性 ? 柯布－道格拉斯效用函數(shù) U(x,y) = x?y? (?+?=1) ? x 和 y 的需求函數(shù) xpx I??ypy I??157 需求彈性 ? 計算彈性 1 2, ?????????? ?????????xxxxxpxpppxppxex II00 , ??????? xpxppxe yyypx y1 , ????????? ????????xxxppxxeIIIII158 需求彈性 ? 我們可以看到 – 齊次性 0101, ??????? Ixpxpx eee yx– 恩格爾加總 111, ???????????? II yyxx eses– 古諾加總 xpyypxx seses xx ????????????? 0)1(,159 需求彈性 ? 我們也可以利用斯盧茨基方程獲得補償價格彈性 ???????????? 1)1(1, Ixxpxc px esee xx? 補償價格彈性取決于其他商品 (y)在效用函數(shù)中有多重要 160 需求彈性 ? CES 效用函數(shù) (其中 ? = 2, ? = 5) U(x,y) = + ? x 和 y 的需求函數(shù) )1( 1??? yxx pppxI)1( 1 yxy pppy ???I161 需求彈性 ? 我們利用 “份額彈性 ‖ 來獲得自身價格彈性 xxx pxxxxxps esppse, 1 ??????? 在這個例子中 , 111????yxxx ppxpsI162 需求彈性 ? 因此 , 份額彈性為 1111211, 1)1()1( ??????????????????yxyxyxxyxyxxxxps ppppppppppsppsexx? 所以 , 如果我們令 px = py