高中數(shù)學(xué)蘇教版選修1-2【備課資源】221習(xí)題課-wenkub
2022-11-28 23:14:07 本頁面
【正文】 特別地ba＋ab≥ 2. ( 4) a2＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ca ( a ， b ， c ∈ R) . 本課時(shí)欄目開關(guān) 試一試 研一研 跟蹤訓(xùn)練 1 ( 1) 已知： a ， b ， c 都是正實(shí)數(shù)，且 ab ＋ bc ＋ ca ＝1. 求證： a ＋ b ＋ c ≥ 3 . 證明 考慮待證的結(jié)論 “ a ＋ b ＋ c ≥ 3 ” ，因?yàn)?a ＋ b ＋ c 0 ， 所以只需證明 ( a ＋ b ＋ c ) 2 ≥ 3 ， 即 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2( ab ＋ bc ＋ ca ) ≥ 3. 又 ab ＋ bc ＋ ca ＝ 1 ， 所以只需證明 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ≥ 1 ，即 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 － 1 ≥ 0. 因?yàn)?ab ＋ bc ＋ ca ＝ 1 ， 本課時(shí)欄目開關(guān) 試一試 研一研 所以只需證明 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 － ( ab ＋ bc ＋ ca ) ≥ 0 ， 只需證明 2 a 2 ＋ 2 b 2 ＋ 2 c 2 － 2( ab ＋ bc ＋ ca ) ≥ 0 ， 即 ( a － b ) 2 ＋ ( b － c ) 2 ＋ ( c － a ) 2 ≥ 0. 由于任意實(shí)數(shù)的平方都非負(fù)，故上式成立 . 所以 a ＋ b ＋ c ≥ 3 . 本課時(shí)欄目開關(guān) 試一試 研一研 ( 2) 已知 a 、 b 、 c 為互不相等的正數(shù)且 abc ＝ 1 ，求證： a ＋ b＋ c 1a ＋1b ＋1c . 證明 要證原不等式成立，即證 a ＋ b ＋ c bc ＋ ac ＋ ab ， 也就是證明 2 a ＋ 2 b ＋ 2 c 2 bc ＋ 2 ac ＋ 2 ab . 因?yàn)?a 、 b 、 c 為互不相等的正數(shù)且 abc ＝ 1 ， 所以 bc ＋ ac 2 abc 2 ＝ 2 c ； ac ＋ ab 2 a 2 bc ＝ 2 a ； ab ＋bc 2 ab 2 c ＝ 2 b ； 相加得 2 a ＋ 2 b ＋ 2 c 2 bc ＋ 2 ac ＋ 2 ab . 所以，原不等式成立 . 本課時(shí)欄目開關(guān) 試一試 研一研 題型 二 選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明等式 例 2 已知 △ ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A ， B ， C 成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的三邊為 a ， b ， c ，求證：1a ＋ b＋1b ＋ c＝3a ＋ b ＋ c. 證明 要證原式，只需證 a
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