【正文】 示，圖中，id是? ?if x的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，而且當(dāng)? ?if x充分小時(shí)，? ?? ? 1iidf ?x 1e?ee?1if0if? ?? ?iidf x? ?if xifif 指數(shù)功效系數(shù)法 多目標(biāo)規(guī)劃的 MATLAB求解 ? 由于多目標(biāo)規(guī)劃中的求解涉及到的方法非常多，故在 MATLAB中可以利用不同的函數(shù)進(jìn)行求解，例如在評(píng)價(jià)函數(shù)法中我們所得最后的評(píng)價(jià)函數(shù)為一線性函數(shù)，且約束條件也為線性函數(shù)，則我們可以利用 MATLAB優(yōu)化工具箱中提供的 linprog函數(shù)進(jìn)行求解，如果我們得到的評(píng)價(jià)函數(shù)為非線性函數(shù)，則可以利用 MATLAB優(yōu)化工具箱中提供的 fmincon函數(shù)進(jìn)行求解，如果我們采用最大最小法進(jìn)行求解，則可以利用 MATLAB優(yōu)化工具箱中提供的fminimax函數(shù)進(jìn)行求解。下面介紹最常用的兩種評(píng)分方法：線性型和指數(shù)型。一個(gè) R?x 對(duì)某個(gè)? ?if x的相應(yīng)值的好壞程度，稱為 x 對(duì)? ?if x的功效。 在上述定義下，轉(zhuǎn)化后的單目標(biāo)規(guī)劃問題是多目標(biāo)規(guī)劃問題的有效解或者弱有效解的條件由下面兩個(gè)定理描述： 若? ?? ?h Fx是? ?Fx的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，則轉(zhuǎn)化后的單目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)解是多目標(biāo)規(guī)劃問題的有效解。 最大最小法 評(píng)價(jià)函數(shù)法的有關(guān)結(jié)論 以上我們借助于不同形式的評(píng)價(jià)函數(shù)? ?? ?h Fx將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題。當(dāng) ???λ 時(shí)， x 可能是弱有效解。 先求出各個(gè)單目標(biāo)規(guī) 劃問題? ?? ?m i n ( 1 , 2 , . . . , )s . t . 0 ( 1 , 2 , . . . , )ijf i pg j m? ???????xx的一個(gè)盡可能好的下界0 0 012,pf f f，即滿足：? ?0m in , 1 , 2 , .. .,iiRf f i p???xx 然后構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)：? ? ? ?? ? ? ?? ?201pi i iih h f f??? ? ??x F x x 一般情況下，權(quán)系數(shù)i?的值由各目標(biāo)函數(shù)? ?if x的重要程度給出。當(dāng)然我們也可以采用其他評(píng)價(jià)函數(shù)的方式，例如更一般的將 (8 7) 進(jìn)行推廣，得到評(píng)價(jià)函數(shù)為： ? ?? ? ? ?? ?1*1,1pqqiiih f f q???? ? ??????F x x 且 取 整 數(shù) 值 或者是如下形式： ? ?? ? ? ?*1m a xiiiph f f????F x x 基于加權(quán)的方法 如果p個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)12, , ...,p? ? ?滿足其和為 1 ，則稱12[ , , . . . , ]Tp? ? ??λ為一組權(quán)向量，或者將12, , ...,p? ? ?稱為一組 權(quán)系數(shù) 。 評(píng)價(jià) 函數(shù) 法 中 主要 有 ： 理想點(diǎn)法 、 平方和加權(quán)法 、 線性加權(quán)和法 、 乘除法 、 最大最小法 理想點(diǎn)法 考慮多目標(biāo)規(guī)劃問題：? ?? ?V m i ns . t . 0 ( 1 , 2 , . . . , )ig i m?????Fxx， 首先分別求解p個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃問題： ? ?? ?m i n ( 1 , 2 , . . . , )s . t . 0 ( 1 , 2 , . . . , )ijf i pg j m? ???????xx 令各個(gè)問題的最優(yōu)解為*( 1 , 2 , ..., )iip?x，而其目標(biāo)函數(shù)值可以表示為： ? ?*m in , 1 , 2 , .. .,iiRf f i p???xx 其中：? ?? ?| 0 ( 1 , 2 , . . . , )jR g j m? ? ?xx 一般來說，不可能所有的*( 1 , 2 , ..., )iip?x均相同，故其最優(yōu)值*( 1 , 2 , ... , )if i p?組成的向量0 * * *12[]Tpf f f?F并不屬于多目標(biāo)規(guī)劃的象集，所以 0F 是一個(gè)幾乎不可能達(dá)到理想點(diǎn)。 多目標(biāo)規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型 ? 目標(biāo)規(guī)范化 多目標(biāo)規(guī)劃的解集 ? 直觀理解 1A2A 3A4A5A6A7AO2f1f多目標(biāo)規(guī)劃的解集 ? 絕對(duì)最優(yōu)解 多目標(biāo)規(guī)劃的解集 ? 有效解與弱有效解 多目標(biāo)規(guī)劃的解集 ? 解集之間的關(guān)系 多目標(biāo)規(guī)劃的象集 多目標(biāo)規(guī)劃的象集 ? 有效點(diǎn)和弱有效點(diǎn)。 多目標(biāo)規(guī)劃問題的典型實(shí)例 再由約束條件，該廠每周的生產(chǎn)時(shí)間為 40h ，故：1 2 340x x x? ? ? 且需要滿足能耗不得超過 20t 標(biāo)準(zhǔn)煤：1 2 3 20x x x? ? ? 上面是對(duì)生產(chǎn)過程的約束，再考慮銷售過程，由于數(shù)據(jù)表中給出了三種產(chǎn)品每周的最大銷量，故我們必須限制生產(chǎn)數(shù)量小于最大銷量才能使得成本最低，即滿足下述約束條件： 1 2 31 2 32 0 7 0 0 。 ? 多目標(biāo)規(guī)劃問題的發(fā)展 ? 多目標(biāo)規(guī)劃法（ Goal Programming，簡稱 GP）也是最優(yōu)化理論和方法中的一個(gè)重要分支，它是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為解決多目標(biāo)決策問題而發(fā)展起來的一種數(shù)學(xué)方法。在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈的過程中，既要射程遠(yuǎn)，又要燃料省，還要重量輕且打擊精度高。第八章 多目標(biāo)規(guī)劃 概述 ? 什么是多目標(biāo)規(guī)劃問題 ? 在前面所述的最優(yōu)化問題，無論是線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃還是非線性規(guī)劃，其目標(biāo)函數(shù)都只有一個(gè)。在進(jìn)行投資決策時(shí)，既希望回報(bào)高的同時(shí)又希望降低投資風(fēng)險(xiǎn)，如此等等。其概念和數(shù)學(xué)模型是由 1961年提出的，經(jīng)過 Ijiri,，并逐步發(fā)展和成熟，它在經(jīng)濟(jì)管理與規(guī)劃、人力資源管理、政府管理、大型工程的最優(yōu)化等重要問題上都有廣泛的應(yīng)用。 2 5 8 0 0 。 多目標(biāo)規(guī)劃的象集 研究象集的作用在于： ( 1) 求出? ?RF中的有效點(diǎn)和弱有效點(diǎn)，就可 確定 有效解和弱有效解； ( 2) 對(duì)象集? ?RF的研究可以提供 — 些解多目標(biāo)規(guī)劃的方法； ( 3) 可以從幾何上（例如2p ?時(shí)）對(duì)一些常用的解法加以解釋。那么，理想點(diǎn)法就是在多目標(biāo)規(guī)劃的可行域 R 中找到一點(diǎn) *x ，使其對(duì)應(yīng)的? ?*Fx與 理想點(diǎn) 0F 最為接近，即當(dāng)已知理想點(diǎn) 0F 時(shí)，在目標(biāo)空間 pR 中適當(dāng)引進(jìn)某種度量標(biāo)準(zhǔn)來確定? ?*Fx和 0F 之間的距離，并在這個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)的意義下，使得多目標(biāo)規(guī)劃問題集合 R上某點(diǎn) *x 的目標(biāo)函數(shù)? ?*Fx與理想點(diǎn) 0F 之間的 “ 距離 ” 盡可能小。 若所有權(quán)系數(shù)0 , 1 , 2 , . . . ,iip? ??，則稱這組權(quán)系數(shù)為正權(quán)，正權(quán)的全體可以記為： 210 , 1 , 2 , ..., 。 平方和加權(quán)法 線性加權(quán)和法 線性加權(quán)和法是 — 種最常用的方法，而且在理論上有重要意義，該方法是按照p個(gè)目標(biāo)? ? , 1 , 2 , . . . ,if i p?x的重要程度，分別乘以一組權(quán)系數(shù)( 1 , 2 , . . . , )i ip? ?，然后相加作為目標(biāo)函數(shù)，再對(duì)此目標(biāo)函數(shù)在多目標(biāo)規(guī)劃問題的約束集合 R 上求最優(yōu)解，即構(gòu)造如下單目標(biāo)規(guī)劃問題： ? ?? ? ? ? ? ?1m i npTiiRihf ????? ?xF x x λ Fx 求此單目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)解，并把它叫做多目標(biāo)規(guī)劃問題在線性加權(quán)意義下的最優(yōu)解，且該問題中的12[ , , . . . , ]Tp? ? ??? ? ?λ或者 2? ， 線性加權(quán)和法 設(shè) p =2 ，則多目標(biāo)規(guī)劃問題具有兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)12,ff，取212T?????? ? ???λ 如圖 所示，目標(biāo)函數(shù)的等值線1 1 2 2f f C?? ??是一條直線 。 1 1 2 2f f C?? ??? ?RF1f2f2f1f 乘除法 假如我們的目標(biāo)可以分為兩組：一組要求? ? ? ? ? ?12, , . . . ,kf f fx x x的值越小越好；另一組要求? ? ? ? ? ?12, , . . . ,k k pf f f??x x x越大越好?，F(xiàn)在我們將要討論：上述問題的最優(yōu)解在什么條件之下才是多目標(biāo)規(guī)劃問題的的有效解或弱有效解。 若? ?? ?h Fx是? ?Fx的單調(diào)增函數(shù)，則轉(zhuǎn)化后的單目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)解是多目標(biāo)規(guī)劃問題的弱有效解。 為了便于對(duì)每個(gè) R?x 比較 它對(duì)某個(gè)? ?if x的功效大小，可將以? ?if x作一個(gè)函數(shù)變換? ?? ?iidf x，即令：? ?? ? , , 1 , 2 , . . . ,i i id d f R i p? ? ?xx。 線性功效系數(shù)法 線性功效系數(shù)法 線性功效系數(shù)法 ( 2) 對(duì)于當(dāng)1 , 2 , . . . ,i k k p? ? ?時(shí)，要求? ?if x越大越好，故可?。? ? ?? ?? ?10ii i i iiiiiiiffd d f f ffff f fff? ??? ? ??????????xx 其中式選取? ?iiiiffff??x作為函數(shù)值，主要是因?yàn)檫^兩點(diǎn)? ?,0if和? ?,1if可作一條直線，其方程為：? ? ? ?? ? 0, 1 , 2 , . . . ,10iiiiiidfffi k k pff??? ? ? ???xx 于是可得：? ?? ?? ?, 1 , 2 , ...,iiiiiiffd f i k k pff?? ? ? ??xx，? ?? ?iidf x的圖形見圖所示。下面我們就結(jié)合前面各小節(jié)中所分析的幾種方法，講解一下典型多目標(biāo)規(guī)劃問題的 MATLAB求解方法。 1 1 ]。當(dāng)? ?1 0 , 6T?x時(shí)，單目標(biāo)線性規(guī)劃? ?1P的最優(yōu)函數(shù)值為 *118f ??。 1 1 ]。 多目標(biāo)規(guī)劃的 MATLAB求解 多目標(biāo)規(guī)劃的 MATLAB求解 多目標(biāo)規(guī)劃的 MATLAB求解 于是建立目標(biāo)函數(shù)的 M 函數(shù)文件 o bjf u n . m ： f u n c t i o n f =o b j f u n (x ) f =x (1 )^ 2 +1 . 2 * x (2 )^ 2 + 1 . 4 * x (3 )^ 2 。 0 。 1 ] 。 多目標(biāo)規(guī)劃的 MATLAB求解 例 利用最大最小法求解 ? ?? ?2221 1 2 32 2 21 1 2 31 2 31 2 3m inm in 2 3s. t. 3, , 0f x x xf x x xx x xx x x? ? ? ??? ? ???? ? ?????xx 根據(jù)最大最小法評(píng)價(jià)函數(shù)的建立方法： ? ?? ? ? ?? ?1m i n m a xiiR iphf ?? ???xF x x 仍然選擇與上例相同的權(quán)值，故可知最大最小法的兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)為： ? ? ? ?? ? ? ?2221 1 2 32 2 21 1 2 3 2 3f x x xf x x x? ? ? ???? ? ???xx 多目標(biāo)規(guī)劃的 MATLAB求解 于是我們?cè)?M A T L A B 中建立描述目標(biāo)函數(shù)的 M 函數(shù)文件 o bj f u n . m 如下： f u n c t i o n f =o b j f u n (x ) f (1 )=0 . 8 * (x (1 )^ 2 +x ( 2 )^ 2 +x (3 )^ 2 )。 1] ，代碼為： A e q =[1 1 1 ]。 0 ]。 [x , fv a l ]=fm i n i m a x (o b j f u n , x 0 , [], [] , A e q , b e q , l b , []) 多目標(biāo)規(guī)劃的 M