北師大版高中數(shù)學(xué)必修512等差數(shù)列第2課時(shí)-wenkub
2022-11-28 17:38:25 本頁(yè)面
【正文】 ＋ 1)(an與 an＋ 1為中間的兩項(xiàng) )； ? S偶 － S奇 ＝ ⑨ ________； ＝ ⑩ ________. ? (4)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 2n－ 1的等差數(shù)列 {an}，有 ? S2n－ 1＝ (2n－ 1)an(an為中間項(xiàng) )； S奇 － S偶 ＝? ________； ＝ ? ________. ? S奇 、 S偶 分別為數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和． ? (5)等差數(shù)列 {an}中，若 an＝ m， am＝ n(m≠n)，則 am＋ n＝ ? ________. ? (6)等差數(shù)列 {an}中，若 Sn＝ m， Sm＝ n(m≠n)，則 Sm＋ n＝ ? ________. ? (7)等差數(shù)列 {an}中，若 Sn＝ Sm(m≠n)，則 Sm＋n＝ ? ________. ? (8)若 {an}與 {bn}均為等差數(shù)列，且前 n項(xiàng)和分別為 Sn與 S′n，則 ＝ ? ________. 答案： ① a1＋ a2＋ a3＋ … ＋ an ②n ? a1＋ an?2 ③ na1＋n ? n － 1 ?2d ④ r ＝ 0 ⑤ An2＋ Bn ⑥ 最大值 ⑦ 最小值 ⑧ k2d ⑨ nd ⑩anan＋1 ? an ?nn － 1 ? 0 ? － ( m ＋ n ) ? 0 ?S2 m－1S ′2 m－1 ? n項(xiàng)和公式時(shí)，沒(méi)有首尾相加而是采用倒序相加法？ ? 對(duì)于 1＋ 2＋ 3＋ … ＋ 100＝？可用以下方法計(jì)算： ? 101＝ 1＋ 100＝ 2＋ 99＝ 3＋ 98＝ … 這樣的數(shù)共有 50對(duì)，則 50 101＝ 5050，運(yùn)用的是等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)． ? 而對(duì)于 1＋ 2＋ 3＋ … ＋ 101＝？將首尾相加：102＝ 1＋ 101＝ 2＋ 100＝ 3＋ 99＝ … ，這樣的數(shù)除有 50對(duì)外，還多了一個(gè)中間數(shù) 51. 對(duì)于 Sn＝ a1＋ a2＋ a3＋ … ＋ an來(lái)說(shuō)，數(shù)列中一共有 多少對(duì)呢？如果不討論 n 的奇偶，問(wèn)題是解決不了的．所以課本中采用了倒序相加法． 那么，能不能用首尾相加的方法呢？ 對(duì)于 Sn＝ an＋ an － 1＋ an － 2＋ … ＋ a1， 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列中共有n2對(duì)，則有 Sn＝n2( － 2) ＝－ n2＋ 31 n ＝－ ( n －312)2＋ (312)2 ∴ 當(dāng) n ＝ 15 或 16 時(shí)， ( Sn)m ax＝ S15＝ S16＝ 240 ， ∴ 當(dāng) n ＝ 15 或 16 時(shí)， Sn取得最大值為 240. ? [變式訓(xùn)練 4] 在等差數(shù)列 {an}中， a1＝ 25，S17＝ S9，求 Sn的最大值． 解析： 解法 1 ：利用前 n 項(xiàng)和公式和二次函數(shù)性質(zhì)，由 S17＝ S9，得 25 17 ＋172( 17 － 1) d ＝ 25 9 ＋92(9 － 1) d ， 解得 d ＝－ 2 ， ∴ Sn＝ 25 n ＋n2( n － 1) ( － 2) ＝－ ( n － 13)2＋ 169 ， ∴ 由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng) n ＝ 13 時(shí)， Sn有最大值 169. 解法 2 ：先求出 d ＝－ 2 ， ∵ a1＝ 25 0 ， 由????? an＝ 25 － 2 ? n － 1 ? ≥ 0 ，an ＋ 1＝ 25 － 2 n ≤ 0得????? n ≤ 1312，n ≥ 1212， ∴ 當(dāng) n ＝ 13 時(shí)， Sn有最大值 169. ? 解法 3：由 S17＝ S9， ? 得 a10＋ a11＋ … ＋ a17＝ 0. ? 而 a10＋ a17＝ a11＋ a16＝ a12＋ a15＝ a13＋ a14， ? 故 a13＋ a14＝ 0. ? ∵ d＝－ 20， a10， ∴ a130， a140， ? 故 n＝ 13時(shí)， Sn有最大值 169. ? 解法 4：由 d＝－ 2得 Sn的圖像如圖所示 (拋物線上一些孤立點(diǎn) )，由 S17＝ S9知圖像對(duì)稱(chēng)軸為 n＝ ? ＝ 13， ? ∴ 當(dāng) n＝ 13時(shí)， Sn取得最大值為 169. ? 已知等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和，解題思路可以轉(zhuǎn)化為求基本特征量 a1與 分利用奇數(shù)項(xiàng)和、偶數(shù)項(xiàng)和與數(shù)列和之間的關(guān)系，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化． [ 例 5] ( 1) 若數(shù)列 a1， a2， … ， a10為等差數(shù)列，S10＝ 140 ， a1＋ a3＋ a5＋ a7＋ a9＝ 125 ，求 a6； ( 2) 若數(shù)列 a1， a2， … ， a12為等差數(shù)列， S12＝ 35 4 ，S 偶S 奇＝3227，求 d . 解析： ( 1) 解法 1 ： 由????? 10 a1＋10 92d ＝ 140 ，a1＋ a3＋ a5＋ a7＋ a9＝ 5 a1＋ 20 d ＝ 125. 解得????? a1＝ 1 13 ，d ＝－ 22.所以 a6＝ a1＋ 5 d ＝ 3. ? 解法 2：設(shè) S偶 ＝ a2＋ a4＋ … ＋ a10， S奇 ＝ a1＋ a3＋ … ＋ a9，則 S偶 ＝ 140－ 125＝ 15＝5a6(因?yàn)?a2＋ a10＝ a4＋ a8＝ 2a6)，所以 a6＝ 3. (2) 解法 1 ：因?yàn)??????? 12 a1＋12 112d ＝ 354 ，6 a1＋ 36 d6 a1＋ 30 d＝3227. 所以????? a1＝ 2 ，d ＝ 5. 解法 2 ：由題意知????? S 偶 ＋ S 奇 ＝ 354 ，S 偶S 奇＝3227. 所以????? S 偶 ＝ 192 ，S 奇 ＝ 162. 因?yàn)?S 偶 － S 奇 ＝ 6 d ，所以 d ＝ 5. ? [變式訓(xùn)練 5] (1)在項(xiàng)數(shù)為 2n＋ 1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為 165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為 150，則 n等于 ( ) ? A． 9 B． 10 ? C． 11 D． 12 ? (2)有 2n＋ 1項(xiàng)的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為 ( ) 解析： ( 1) 由題意得????? S 奇 － S 偶 ＝ an ＋ 1，S 奇 ＋ S 偶 ＝ ? 2 n ＋ 1 ? an ＋ 1 ?????? an ＋ 1＝ 15 ，? 2 n ＋ 1 ? an ＋ 1＝ 315? 2 n ＋ 1 ＝ 21 ? n ＝ 10. ( 2) ∵ S 奇 ＝ a1＋ a3＋ … ＋ a2 n ＋ 1＝? n ＋ 1 ?? a1＋ a2 n ＋ 1?2， S 偶 ＝ a2＋ a4＋ … ＋ a2 n＝n ? a2＋ a2 n?2，且 a1＋ a2 n ＋ 1＝ a2＋ a2 n， ∴S 奇S 偶＝n ＋ 1n. 答案： (1)B (2)B 如果已知等差數(shù)列的中項(xiàng)或者構(gòu)造出等差數(shù)列的中項(xiàng)，則等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 S n ＝ na 中． [ 例 6] 兩個(gè)等差數(shù)列 { a n } 、 { b n } 的前 n 項(xiàng)和分別為 S n 、T n ，若S nT n＝2 n3 n ＋ 1，求a nb n. 解析： 解法 1 ：設(shè) an＝ a1＋ ( n － 1) d ， bn＝ b1＋ ( n － 1) e . 取 n ＝ 1 ，a1b1＝S1T1＝12，所以 b1＝ 2 a1. 又SnTn＝na1
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