【正文】 ?1)()()(1)()(1)()()(2121121????? ?nXxnXXnnxxxnxxxnnxxxxXxxxXxxxnnnnn)()()()(1)()()(1)(1)()()()()()(,2222221222122212222221221??????????????????????????????????????????? 同分布且都與相互獨(dú)立重復(fù)抽樣下結(jié)論： 在重復(fù)抽樣的情況下， ?樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)。本身也是隨機(jī)變量。 例 2： 設(shè)部隊(duì)?wèi)?zhàn)士的身高服從正態(tài)分布X~N(175， 42 )，軍服廠要制 100000套軍服，問身高在 171~179的應(yīng)制多少套？ 解： 令 Z= ， 4175?XX落在區(qū)間 (171， 179 )等價(jià)于 Z落在區(qū)間 (1， 1 )。 把一般正態(tài)分布化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，通過查正態(tài)分布概率表即可求出 一般正態(tài)分布 隨機(jī)變量落在 任意區(qū)間 的概率。 ?正態(tài)分布的分布函數(shù) ? ???????????xtxdtdttfxF222e21)()(????利用正態(tài)分布函數(shù)可計(jì)算正態(tài)分布隨機(jī)變量 X落在任意區(qū)間的概率： ? ?????????baxdxaFbFbXaP 222e21)()()( ????對于不同的 μ和 σ2都要計(jì)算上述積分很麻煩。 nn qpC 00 111 ?nn qpC 222 ?nn qpC 0pC nnnk 0 1 2 … n 0 1 2 … n P … k … 四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布只能用概率分布函數(shù) 來表示。 概率的乘法定理： 幾個(gè) 互相獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于這幾個(gè)事件各自發(fā)生的概率之積。 AB???A?B 兩種常用的復(fù)合事件的概率 互不相容事件的和的概率 A、 B互不相容表示 AB?Ф??若事件 A與事件 B互不相容 ，則 :P(A+B)=P(A)+P(B)。 若樣本空間中各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性大小相同，可用樣本空間中屬于該事件的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)與樣本空間中全部樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)之比來計(jì)算。 由若干個(gè)簡單事件結(jié)合成的事件。 特點(diǎn)： 簡單隨機(jī)抽樣的樣本個(gè)數(shù) 重復(fù)抽樣 如果考慮順序，可能的樣本個(gè)數(shù)是 。 特點(diǎn)： 簡單隨機(jī)抽樣的兩種方式 不重復(fù)抽樣 每次從 N個(gè)單位的總體中隨機(jī)抽取1個(gè)單位，登記后不放回原總體，下次從總體中余下的單位里抽取，連續(xù)進(jìn)行 n次。 簡單隨機(jī)抽樣的兩種方式 重復(fù)抽樣 每次從 N個(gè)單位的總體中隨機(jī)抽取 1個(gè)單位，登記后放回總體參加下一次的抽取，連續(xù)進(jìn)行 n次。 ? 樣本個(gè)數(shù)： 一個(gè)抽樣方案中所有的可能被抽取的樣本的總數(shù)量 ， 即可能的樣本個(gè)數(shù) 。 抽樣推斷誤差的控制 第一節(jié) 抽樣方法概述 一 、 抽樣的概念和特點(diǎn) 抽樣 根據(jù)隨機(jī)原則從總體中抽取一部分單位作為樣本，并根據(jù)樣本數(shù)量特征對總體數(shù)量特征做出具有一定可靠程度的估計(jì)與推斷。 抽樣方法概述 167。 概率與概率分布 167。 特點(diǎn) 按隨機(jī)原則抽取樣本單位 用部分信息推斷總體數(shù)量特征 抽樣推斷具有一定的概率保證程度 抽樣誤差可以事先計(jì)算并控制 ?抽樣的應(yīng)用 對不可能進(jìn)行全面調(diào)查的社會現(xiàn)象 對不必要進(jìn)行全面調(diào)查的社會現(xiàn)象 對普查資料進(jìn)行必要的修正 二 、 有關(guān)抽樣的幾個(gè)基本概念 樣本 從總體抽取出的、用以代表和推斷總體的部分單位的集合體。 第二節(jié) 概率與概率分布 一、樣本空間及簡單隨機(jī)抽樣方式 試驗(yàn) 從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)單位并把結(jié)果記錄下來稱為一次試驗(yàn) 。 n個(gè)單位的樣本由 n次連續(xù)試驗(yàn)構(gòu)成。 n個(gè)單位的樣本由 n次連續(xù)試驗(yàn)構(gòu)成，由于每次抽出后不放回，所以相當(dāng)于從總體中同時(shí)抽取 n個(gè)樣本單位。 nN不重復(fù)抽樣 如果考慮順序，可能的樣本個(gè)數(shù)為 ； 如果不考慮順序，可能的樣本個(gè)數(shù)為 。 必然事件 不可能事件 每次實(shí)驗(yàn)中必定發(fā)生，是樣本空間本身。 事件 A、 B之和 A?B表示事件 A或事件 B發(fā)生。 概率的加法定理： 幾個(gè) 互不相容事件中至少一個(gè)發(fā)生的概率等于這幾個(gè)事件各自發(fā)生的概率之和。 推論 設(shè) A、 B互相獨(dú)立，則： P(A+B)=P(A)+P(B)P(A)P(B) 隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 三 、 離散型隨機(jī)變量的概率分布 概率分布表 將離散型隨機(jī)變量的所有可能取值及相應(yīng)的概率按順序列成表。 ? ????? x dxxfxXpxF )()()(其中 f(x)是分布函數(shù) F(x)的導(dǎo)數(shù)，稱為 密度函數(shù) 。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 μ=0， σ=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，相應(yīng)的隨機(jī)變量稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，用 Z表示，即Z~N(0， 1) 。 例 1： 設(shè) X~N(μ， σ2 )，求 X落在區(qū)間 (μa， μ+a )的概率。 查正態(tài)分布表可得 12[1F(1)]=， 所以軍服廠應(yīng)制 68270套身高在 171~179的軍服。 抽樣分布 樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。 ?樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差反映樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的平均誤差程度，等于 總體標(biāo)準(zhǔn)差的 ， 稱為抽樣平均（標(biāo)準(zhǔn)）誤差。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n PPn PPnPpp ?????? 11??? PXpEP ??)(例： 某產(chǎn)品的一級品率為 80%，現(xiàn)采用重復(fù)抽樣方式從中抽取 100件，求樣本一級品率的抽樣平均誤差。記為 ? ? ??????????1)(2NnNnXxx???注意： 當(dāng) N較大時(shí)， ，這個(gè)系數(shù)稱為 不重復(fù)抽樣的修正系數(shù) ，當(dāng) N遠(yuǎn)大于 n時(shí)，修正系數(shù)近似于 1，即可用重復(fù)抽樣的誤差公式代替不重復(fù)抽樣的誤差公式。 例： 要估計(jì)某地區(qū) 10000名適齡兒童的入學(xué)率，現(xiàn)采用不重復(fù)抽樣方式從中抽取 400名兒童， 檢查有 320名兒童入學(xué)，求樣本入學(xué)率的抽樣平均誤差。 xX ? ?X?Xx?獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量： ， 設(shè)它們的平均數(shù)為 ， 方差為 ， 即 ， ， (i=1,2,… )。 ? ? XXE ?? ? 22 ?? ?XxXx?由中心極限定理得： 中心極限定理應(yīng)用于成數(shù)： 從任一總體成數(shù)為 P，方差為 P(1P)的 (0,1)分布總體中，抽取容量為 n 的樣本，其樣本成數(shù) p的分布隨著 n的增大而趨近于正態(tài)分布 。 解： 這 100名考生平均成績 近似服從 )25,550( 2Nx即：這 100名考生平均成績在 540~580分之間的概率為 %。 %=)≥(=)1940≥19076(=)800≥(ZPxPxP比較： 上例中，如果該縣糧食畝產(chǎn)服從正態(tài)分布，求畝產(chǎn)在 800公斤以上所占的比例。 %)() 6(%)4(??????ZPpPpP解： 總體成數(shù)為 P=6%，方差為 P(1P)= 第四節(jié) 抽樣估計(jì)的方法與應(yīng)用 一 、 總體參數(shù)估計(jì)概述 總體參數(shù)估計(jì) 用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)，有 點(diǎn)估計(jì) 和 區(qū)間估計(jì) 兩種。 (估計(jì)的可靠性 ) 科學(xué)的抽樣估計(jì)方法應(yīng)具備的三個(gè)基本條件 : 二 、 總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 點(diǎn)估計(jì) 直接以樣本統(tǒng)計(jì)量的取值作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)值，又稱 定值估計(jì) 。 設(shè) 表示總體的待估參數(shù)， 是估計(jì) 的樣本統(tǒng)計(jì)量，無偏估計(jì)指的是 滿足： ? ???? ?? ??????? ?E如： 由于 ，所以樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無偏估計(jì)量。 如： 有效性： 作為優(yōu)良估計(jì)量，其方差應(yīng)比其它無偏估計(jì)量的方差小。 ? ?? ??? 22 11 xxns i證明如下： ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?22222222222211112112111111??? ???????????????????????????????????????????????? ???nnnnXxnEXxEnXxnXnxnXxXxEnXxnXxXxXxEnXxXxEnxxnEsEiiiiii注意： 雖然樣本方差 是總體方差的無偏估計(jì)量，但樣本標(biāo)準(zhǔn)差 并不是總體標(biāo)準(zhǔn)差 的無偏估計(jì)量，只是總體標(biāo)準(zhǔn)差的漸近無偏估計(jì)量。 方法 : 對總體被估計(jì)參數(shù) ，找出樣本的兩個(gè)估計(jì)量 和 ，要求滿足： 式中 α(0α1)是區(qū)間估計(jì)的 顯著性水平 ， 1α稱為 置信度 。因此，可根據(jù)置信度與允許極限誤差的關(guān)系，知道其中一個(gè)就可求另一個(gè)，并進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。 (2)給定極限誤差 ，試對該鄉(xiāng)畝產(chǎn)量和總產(chǎn)量進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。 x?2 ?????z因此，以 %的概率保證程度估計(jì)該鄉(xiāng)畝產(chǎn)量的估計(jì)區(qū)間為 (,)公斤，總產(chǎn)量的估計(jì)區(qū)間為 (,)萬公斤。 例 1： 設(shè)鋼珠的直徑服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批鋼珠中隨機(jī)抽出 9個(gè)，測量它們的直徑，并求得其樣本的平均值是 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差是 。現(xiàn)隨機(jī)地抽取 50只燈泡進(jìn)行測試，其平均壽命是1600小時(shí)，樣本方差是 2500小時(shí)平方。 ? ?2, pPN ?設(shè)總體成數(shù)是 P，樣本成數(shù)是 p