【正文】 的性質(zhì) 我們的模型為 估計式為 1． 的均值 ?β? ?? β? XY uX ?? ?)uβ()( 1 ???? ? XXXX u)(β)( 11 XXXXXXX ?????? ?? u)(β 1 XXX ???? ?19 （ 由假設(shè) 3） (由假設(shè) 1) 即 這表明 ， OLS估計量 是無偏估計量 。XY 即 YXXX 39。 nIuuE 2, )( ??? ????????????????????????????????22122212121212121..... ......... .......... .......... .......... ...... .......nnnnnnn uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuunIuuE 2)( ???10 （ 3） X 是 是一個非隨機元素矩陣 。 一 ． 假設(shè)條件 （ 1） E(ut)=0, t=1,2,… ,n （ 2） E(ui uj)=0, i≠j （ 3） E(ut2)=σ2, t=1,2,…,n （ 4） Xjt是非隨機量， j=1,2, … k t=1,2, … n 8 除上面 4條外 ， 在多個解釋變量的情況下 ， 還有兩個條件需要滿足： （ 5） （ K+1） n。 tttt uLDC ???? 321 βββntuDC ttt ,...,2,1, ???? ??5 回到一般模型 t=1,2,… ， n 即對于 n組觀測值 ， 有 tktkttt XXXY uβ...βββ 22110 ?????? nKnKnnnnKKKKuXXXXuXXXXYuXXXXY?????????????????????β...ββββ..... .β...βββββ...ββββ3322110223232221210211313212111016 其矩陣形式為： 其中 ???????????????nYYYY...21?????????????KnnKKXXXXXXX...1...............1...11212111uXY ?? ?????????????????????????????????nKuuuu...,...21210?????7 第二節(jié) 多元線性回歸模型的估計 多元線性回歸模型的估計與雙變量線性模型類似 ， 仍采用最小二乘法 。 這是收入對消費額的直接影響 。 因此 ， 有必要考慮線性模型的更一般形式 ， 即多元線性回歸模型： t=1,2,… ,n 在這個模型中 ， Y由 X1,X2,X3, … XK所解釋 ， 有 K+1個未知參數(shù) β 0、 β β … β K 。 這里 ， “ 斜率 ” β j的含義是 其它變量不變的情況下 ， Xj改變一個單位對因變量所產(chǎn)生的影響 。 收入變動對消費額的總影響 =直接影響 +間接影響 。 當(dāng)然 ， 計算要復(fù)雜得多 ， 通常要借助計算機 。 即觀測值的數(shù)目要大于待估計的參數(shù)的個數(shù) （ 要有足夠數(shù)量的數(shù)據(jù)來擬合回歸線 ） 。 （ 4） Rank(X) = (K+1) n. 相當(dāng)于前面 (5)、 (6) 兩條 即矩陣 X的秩 =（ K+1) n 當(dāng)然，為了后面區(qū)間估計和假設(shè)檢驗的需要，還要加 上一條： （ 5） ～ ， t=1,2,… n ),0( 2?Ntu11 二 ． 最小二乘估計 我們的模型是： t=1,2,… n 問題是選擇 ， 使得殘差平方和最小 。β)39。 ?β??????????????????????????????????????????????????????????????????KKK EEEEβ...ββ)β(..... .)β()β(β...ββ101010β)u()(β)β( 1????? ??EXXXE20 2． 的方差 為求 Var( )， 我們考慮 這是一個 （ K+1） *(K+1)矩陣 ， 其主對角線上元素即構(gòu)成 Var( )， 非主對角線元素是相應(yīng)的協(xié)方差 ， 如下所示： ?β?β?β ???????? ??????? ??????? ? ?? ββββE21 ??????????????????????????????)β(...)β,β()β,β(............)β,β(...)β()β,β()β,β(...)β,β()β(1011010100KKKKKVarCovCovCovVarCovCovCovVar 下面推導(dǎo)此矩陣的計算公式 . ????????????????????????????????????????????????KKKKE ββ...ββββββ...ββββ1100110022 由上一段的結(jié)果 ， 我們有 因此 ， uXXX ???? ?? 1)(ββ ? ? ? ? ? ? 11 uu ?? ????? XXXEXXX ? ? ? ?? ?11 ?? ????? XXXuuXXXE ? ?? ? ? ?? ?? ????????????? ??????? ??????? ? ???? uuββββ 11 XXXXXXEE? ? ? ? 121 ?? ??? XXXIXX n?? ? ? ? 211 ??? ???? XXXXXX? ? 21 ???? X23 如前所述 ， 我們得到的實際上不僅是 的方差 ， 而且是 一個方差 協(xié)方差矩陣 ， 為了反映這一事實 ， 我們用下面的符號表示之： 展開就是： 21)()β( ??? ??? XXCovVar?β211011010100)()β()β,β()β,β(............)β,β(...)β()β,β()β,β(...)β,β()β(?????????????????????????????????XXVarCovCovCovVarCovCovCovVarKKKKK24 3． ?2 的估計 與雙變量線性模型相似 ， ?2的無偏估計量是 這是因為我們在估計 的過程中 ， 失去了（ K+1） 個自由度 。 因而顯然有 是線性估計量 。 *? cccuVarcucVarucXcVarVar?????????2*)()()()(???DXXXc ???? ? 1)(c ??? *?28 由 可推出： 即 因而有 由 從而 ， 因此上式中間兩項為 0， 我們有 IXc ? IXDXXXX ???? ? 1)( IXDI ?? 0?XD? ?? ?? ?? ?DDXXXDDXXXXXXXXXDXXXDXXXDXXXDXXXcc????????????????????????????????????11111111)()()()()()()()(0?XD 0???DX DDXXcc ????? ? 1)(29 因此 最后的不等號成立是因為 為半正定矩陣 。 ? ??????222 1YYeR? ?? ??? ????? 222YYeYY22 )?(YnYYXYYYYnYY??????????22?YnYYYnXY??????34 二 ． 修正決定系數(shù)： 殘差平方和的一個特點是 ， 每當(dāng)模型增加一個解釋變量 ，并用改變后的模型重新進行估計 ， 殘差平方和的值會減小 。 我們有：（ 1） （ 2）僅當(dāng) K=0時，等號成立。 解：我們有 22 RR 和37 ??????????????????????????????????64142165141153153813XY???????????????????????????????????????129812581551525155641421651411531646454251311111XX38 ??????????????????????