矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計算-wenkub
2022-09-02 10:29:21 本頁面
【正文】 概念，如合同、不變的因素和主要因素理論的邏輯排列的形式等等。在1858年，凱萊（Cayley）在他所寫的《矩陣論的研究報告》里面有體系地說明了矩陣的一些基本理論。矩陣的當(dāng)代概念體系在19世紀(jì)慢慢完成。1750年，加布里爾在該領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家中，日本非常有名的關(guān)孝和（1683年）與戈特弗里德書理用類似分離系數(shù)法的方法來表示線性方程組，在其一行乘以一個非零實數(shù)、把其中一行中和另一行相減等運(yùn)算技巧，類似現(xiàn)在矩陣變換里面的初等變換。 Differential equations目 錄1 前言 1 矩陣（Matrix）的發(fā)展與歷史 1 本文的主要內(nèi)容 22 預(yù)備知識 33 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 7 矩陣指數(shù) 7 關(guān)于級數(shù)的收斂性 7 矩陣指數(shù)的性質(zhì) 8 常系數(shù)線性微分方程基解矩陣 10 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 10 矩陣函數(shù) 10 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 114 矩陣指數(shù)函數(shù)的計算方法 17 矩陣指數(shù)函數(shù)的一般計算方法 17 Hamilton‐Cayley求解法 17 微分方程系數(shù)求解法 21 Jordon塊求解法 23 矩陣指數(shù)函數(shù)的特殊計算方法 26 矩陣指數(shù)函數(shù)展開法 27 Laplace變換法 27 矩陣指數(shù)函數(shù)方法比較 285 矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用 306 總結(jié) 33參考文獻(xiàn) 34致謝 35天津科技大學(xué)2014屆本科生畢業(yè)論文1 前言 矩陣（Matrix）的發(fā)展與歷史在數(shù)學(xué)中，矩陣（Matrix）是很常用的工具，雖然Matrix亦有“子宮，或者控制中心的母體，孕育生命的地方”此類含義，然而矩陣卻與生物沒有太大的關(guān)聯(lián)，矩陣（Matrix）是指在二維空間里的數(shù)據(jù)縱橫分布形成的表格，最先起源于方程組的各項系數(shù)和常數(shù)所組成的方陣。后兩種方法較特殊，雖然缺乏普適性，只能計算特殊矩陣的指數(shù)函數(shù)，但卻避過了特征值計算，簡化了運(yùn)算過程。本文深入淺出地介紹了矩陣指數(shù)函數(shù)，并進(jìn)一步探討如何借助矩陣指數(shù)函數(shù)分析相關(guān)問題。文章以齊次線性微分方程組求解基解矩陣為出發(fā)點引出矩陣指數(shù)函數(shù)的概念，證明求解矩陣指數(shù)函數(shù)就是求解齊次線性微分方程組的基解矩陣，然后得到矩陣指數(shù)函數(shù)的一些基本性質(zhì)。最后，本文具體闡述矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程求解中的應(yīng)用。矩陣的系統(tǒng)概念首先被英國的著名數(shù)學(xué)家凱利提出。然而由于當(dāng)時世界各地并沒有系統(tǒng)的矩陣研究，也沒有相關(guān)概念，所以僅僅以線性方程內(nèi)的表示方法為標(biāo)準(zhǔn)和相關(guān)的處理方式記錄在書中。威廉克拉默提出了克萊姆法則。實際上矩陣的概念與行列式的概念有本質(zhì)上的區(qū)別，其使用也有很大的不同。在這篇報告里面作者規(guī)定了矩陣相等、算法、轉(zhuǎn)置和矩陣基本概念，如逆矩陣的加法，給出了系列，互換性和約束力的概念。在1854年，約丹首次發(fā)現(xiàn)了把一般矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法。 本文的主要內(nèi)容矩陣函數(shù)是矩陣?yán)碚摰闹匾獌?nèi)容，矩陣函數(shù)中最簡單的是矩陣多項式，是研究其他矩陣函數(shù)的基礎(chǔ)．本文討論的是矩陣函數(shù)中的一類函數(shù)——矩陣指數(shù)函數(shù)。2 預(yù)備知識為了課題討論中便于理解，引入研究此論文所需矩陣的相關(guān)知識概念：在這里，表示對數(shù)域上矩陣的全部線性空間，因此表示復(fù)矩陣集。 在的化零多項式中，各項中次數(shù)最低同時首項的系數(shù)為1的化零多項式可以稱作是的最小多項式，記為。可以被稱為矩陣級數(shù)的部分和，如果此矩陣序列是收斂，同時此矩陣序列有極限，即，則矩陣級數(shù)可以被證為收斂的，同時可以稱為矩陣級數(shù)的和，記作。正定矩陣在線性代數(shù)的領(lǐng)域中，一個正定矩陣(positive definite matrix)偶爾會被簡稱作正定陣。廣義的定義：設(shè)一個階方陣，如果對任何 (是非零向量)，如果都存在 ，在這里的轉(zhuǎn)置表示為，就可以將稱作一個正定矩陣。在這里的轉(zhuǎn)置可以表示為。Jordan矩陣形如下列的由主對角線為特征值，次對角線為1的Jordan塊按對角排列組成的矩陣稱為Jordan形矩陣,而主對角線上的小塊方陣稱為Jordan塊.。3 矩陣指數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在計算常系數(shù)線性微分方程的時候時，主要考慮的是齊次線性微分方程組，這個方程組的基解矩陣的結(jié)構(gòu)非常重要，在這里，本文所研究的主要問題矩陣指數(shù)函數(shù)和齊次線性微分方程組的基解矩陣的求解密切相關(guān)。本文將運(yùn)用代數(shù)的方法尋求（）的一個基解矩陣。這個級數(shù)對于所有的都是收斂的，所以是個確定的矩陣。假設(shè)矩陣級數(shù)任意項的范數(shù)都小于相對應(yīng)的收斂數(shù)值級數(shù)的相應(yīng)項，那么我們可以推得此矩陣級數(shù)為收斂的，所以（）先對所有矩陣A全是絕對收斂的。，即，則 （）事實上，由于矩陣級數(shù)（）是絕對收斂的，因而關(guān)于絕對收斂數(shù)值級數(shù)運(yùn)算的一些定理，其中包含級數(shù)的收斂性不受項的重新排列影響和級數(shù)的和以及乘法運(yùn)算的性質(zhì)等都能夠運(yùn)用到這里來，由二項式定理以及可得到 （）另一方面，由絕對收斂級數(shù)的乘法定理得 （）比較（）以及（），推得（）.，存在，且實際上，和是可交換的，所以在（）中，令，本文推得，因此，可以推得.如果T是非奇異矩陣，則. ()事實上這就是本文所需要證明的。且.證明 有定義易知.（）對求導(dǎo)，我們得到這就表明，是（）的解矩陣。，我們能夠使用此基解矩陣得知（）的解全擁有以下形式 （）這里是一個常數(shù)向量。定理 設(shè)，在這里矩陣的譜半徑為，如果函數(shù)的冪級數(shù)的表示式是，則當(dāng)時 可以推出很多關(guān)于矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表示式，列舉其中3個；。（7）設(shè)定是Hermite正定矩陣，那么有唯一Hermite矩陣，使。接下來研究的問題是：如果一個非正規(guī)的矩陣符合式()的條件，那么這個矩陣擁有什么樣的結(jié)構(gòu)呢?為了研究此問題，需要提前證明一個引理引理 1 設(shè)， 為一個復(fù)值函數(shù)，定義域．矩陣方程 能夠求解的充分必要的條件為：對任何，總存在，使得。日常的計算中有許多常用的方法。證明： 首先證明問題（）~（）解的唯一性．設(shè)都是階矩陣線性微分方程()的解，并且滿足初值條件()，令．所以滿足陣線性微分方程() ，且滿足初值條件 ．所以，內(nèi)所有元素全部符合以下常系數(shù)階線性微分方程，易知此方程的解為,所以，因此。同時,最后算出 微分方程系數(shù)求解法這一節(jié)闡述的是計算矩陣指數(shù)函數(shù)的第二種方法，和上節(jié)的方法部分相似，使用了微分方程，不過此方法開始求得的一個表達(dá)式，接著經(jīng)過求解一些常系數(shù)的微分方程來計算表達(dá)式的系數(shù)，最后算出． 設(shè)階方陣的特征多項式是，則，其中，是階常系數(shù)線性微分方程的解，各自滿足且初值條件：。當(dāng)時，當(dāng)時。雖然第三種方法的過程多，計算復(fù)雜，但是這三種方法都可以對一般的矩陣指數(shù)函數(shù)進(jìn)行求解。但是二者亦有相應(yīng)的缺點，本節(jié)將對其進(jìn)行詳細(xì)的介紹。我們將稱為原函數(shù)，而稱為為像函數(shù)。 矩陣指數(shù)函數(shù)方法比較以上三種方法各有優(yōu)略，都可以用來計算矩陣指數(shù)函數(shù)。
規(guī)章制度相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1