高一數(shù)學(xué)數(shù)列中的綜合問(wèn)題-wenkub
2022-11-22 21:09:45 本頁(yè)面
【正文】 數(shù)列和不等式 數(shù)列問(wèn)題往往和不等式問(wèn)題相交匯 ， 通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)以及求和 ， 然后解決一個(gè)不等式問(wèn)題 ， 這類(lèi)不等式是關(guān)于正整數(shù)的不等式 ， 可以通過(guò)比較法 ， 基本不等式法 ， 導(dǎo)數(shù)方法和數(shù)學(xué)歸納法解決 ． 第 28講 │ 知識(shí)梳理 4 ．?dāng)?shù)列的應(yīng)用題 解決數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟是： (1) 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求，識(shí)別是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，用數(shù)列表示問(wèn)題的已知； (2) 根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，以及實(shí)際問(wèn)題的要求建立數(shù)學(xué)模型； (3) 求出數(shù)學(xué)模型，根據(jù)求解結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出結(jié)論． 要點(diǎn)探究 第 28講 │ 要點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn) 1 等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合 例 1 [ 2 0 1 0 遼寧卷 ] 已知數(shù)列 ??????a n 滿(mǎn)足 a 1 ＝ 33 ， a n ＋ 1 － a n＝ 2 n ，則a nn的最小值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 第 28講 │ 要點(diǎn)探究 212 [ 解析 ] 因?yàn)?an＝ ( an－ an － 1) ＋ ( an － 1－ an － 2) ＋ … ＋( a2－ a1) ＋ a1＝ 33 ＋ n2－ n ，所以ann＝33n＋ n － 1. 設(shè) f ( x ) ＝33x＋ x － 1 ， x ∈ (0 ，＋ ∞) ， f ′( x ) ＝－33x2 ＋ 1 ，可得函數(shù) f ( x ) 在 ( 33 ，＋ ∞) 上單調(diào)遞增，在 (0 ， 33 ) 上是遞減，因?yàn)?n ∈ N*，所以 f ( n ) 最小值為 f (5) ， f (6) 中的較小者． 又因?yàn)閍55＝535，a66＝636＝212， 所以ann的最小值為a66＝212. 第 28講 │ 要點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn) 3 數(shù)列與不等式的綜合 例 3 已知正項(xiàng)數(shù)列 ??????an ， ??????bn 滿(mǎn)足： a 1 ＝14， an＋ bn＝ 1 ，bn ＋ 1＝bn? 1 － an?? 1 ＋ an?. (1) 求數(shù)列 ??????an ， ??????bn 的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè) Sn＝ a1a2＋ a2a3＋ a3a4＋ … ＋ anan ＋ 1，當(dāng)不等式4 aSn bn恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 第 28講 │ 要點(diǎn)探究 [ 思路 ] ( 1 ) 根據(jù) a n ＋ b n ＝ 1 和 b n ＋ 1 ＝b n1 － a n 1 ＋ a n消掉其中的 b n 或者 a n ， 得到一個(gè)遞推式 ， 求解這個(gè)遞推式 ； ( 2 ) 求出S n 后把不等式 4 aS n b n 恒成立轉(zhuǎn)化為 4 aS n － b n 0 恒成立 ， 利用函數(shù)性質(zhì)探究 ． 第 28講 │ 要點(diǎn)探究 [ 解答 ] (1) 由 an＋ bn＝ 1 得 bn＝ 1 － an，又 bn ＋ 1＝bn( 1 － an) ( 1 ＋ an)，故 1 － an ＋ 1＝1 － an( 1 － an) ( 1 ＋ an)，即 1 － an ＋ 1＝11 ＋ an，即 (1 － an ＋ 1)(1＋ an) ＝
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