【正文】 11212111bxaxabxaxa.2211112 babaD ?則二元線(xiàn)性方程組的解為 ,2221121122212111aaaaababDDx ??注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式 . .2221121122111122aaaababaDDx ??例 1 ???????.12,12232121xxxx求解二元線(xiàn)性方程組解 12 23 ??D )4(3 ??? ,07 ??112121??D,14? 121232 ?D ,21??DDx 11 ?? ,2714 ??DDx 22 ? .3721 ????二、三階行列式 定義 333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的數(shù)表行個(gè)數(shù)排成設(shè)有記 ,312213332112322311322113312312332211 )6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa??????333231232221131211aaaaaaaaa（ 6）式稱(chēng)為數(shù)表（ 5）所確定的 三階行列式 . 323122211211aaaaaa? ? ????.312213332112322311 aaaaaaaaa ???(1)沙路法 三階行列式的計(jì)算 322113312312332211 aaaaaaaaa ???D333231232221131211aaaaaaaaaD ?.列標(biāo) 行標(biāo) 333231232221131211aaaaaaaaaD ?333231232221131211aaaaaaaaa332211 aaa?.322311 aaa?(2)對(duì)角線(xiàn)法則 注意 紅線(xiàn)上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線(xiàn)上三 元素的乘積冠以負(fù)號(hào)． 說(shuō)明 1 對(duì)角線(xiàn)法則只適用于二階與三階行列式． 322113 aaa? 312312 a?312213 aaa? 332112 a? 如果三元線(xiàn)性方程組 ??????????????。 n 階行列式 排列與逆序 n 階行列式的定義 167。 行列式的性質(zhì) 167。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD ?,0? 利用三階行列式求解三元線(xiàn)性方程組 2. 三階行列式包括 3!項(xiàng) ,每一項(xiàng)都是位于不同行 , 不同列的三個(gè)元素的乘積 ,其中三項(xiàng)為正 ,三項(xiàng)為 負(fù) . ??????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD ?得 ??????????????。 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為 偶排列 . 排列的奇偶性 分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼 個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)， 這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆 序數(shù) . 方法 2 例 1 求排列 32514的逆序數(shù) . 解 在排列 32514中 , 3排在首位 ,逆序數(shù)為 0。 4的前面比 4大的數(shù)有 1個(gè) ,故逆序數(shù)為 1。 定理 經(jīng)一次對(duì)換改變排列的奇偶性 。 再考慮非相鄰對(duì)換的情形。 （ 而且是 p個(gè)不同的偶排列 ） 因?yàn)榭偣灿? q 個(gè)偶排列，所以 pq?同理 ,qp? 所以 !2npq??四、 n階行列式的定義 觀察三階行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD ?322113312312332211 aaaaaaaaa ???332112322311312213 aaaaaaaaa ???尋找規(guī)律 （ 1）三階行列式共有 項(xiàng)，即 項(xiàng)． 6 !3（ 2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的 乘積． （ 3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列 的三個(gè)元素的下標(biāo)排列． 例如 322113 aaa 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ? ? ,211312 ???t322311 aaa 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ? ? ,101132 ???t偶排列 奇排列 正號(hào)?,負(fù)號(hào)?.)1(321 321333231232221131211? ??? pppt aaaaaaaaaaaannnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn???????212222111211212.)1(21???記作的代數(shù)和個(gè)元素的乘積取自不同行不同列的階行列式等于所有個(gè)數(shù)組成的由定義 ).de t ( ija簡(jiǎn)記作 的元素．稱(chēng)為行列式數(shù) )de t ( ijij aa為這個(gè)排列的逆序數(shù)．的一個(gè)排列，為自然數(shù)其中tnppp n ?? 2121? ?? ?nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD?????????????212121212122221112111? ???說(shuō)明 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的 。 即 的符號(hào)為 nnppp aaa ?21 21 ? ? .1 t?例 1 計(jì)算對(duì)角行列式 0004003002001000分析 展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa41 ?p若 ,011 ?? pa從而這個(gè)項(xiàng)為零， 所以 只能等于 , 1p 4同理可得 1,2,3 432 ??? ppp解 0004003002001000? ? ? ? 43211 4321 ????? t .24?即行列式中不為零的項(xiàng)為 .aaaa 41322314例 2 計(jì)算上 三角行列式 nnnnaaaaaa??????????00022211211分析 展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是 .21 21 nnppp aaa ?,npn ? ,11 ??? np n ,1,2,3 123 ????? ppnp n ?所以不為零的項(xiàng)只有 .2211 nnaaa ?nnnnaaaaaa??????????00022211211?? ? ? ? nnnt aaa ?? 2211121??.2211 nnaaa ??解 例 3 ?8000650012404321??D443322118000650012404321aaaaD ??.16 08541 ?????同理可得 下三角行列式 nnnnnaaaaaaa???????????32122211100000.2211 nnaaa ??n????21? ? ? ? .1 212 1 nnn ??? ????。(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值 ． 三、小結(jié) 行列式的 6個(gè)性質(zhì) 思考題 階行列式計(jì)算 411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD?????? ?1?a b c d已知思考題解答 解 111111112222dddcccbbbaaaD ?1111111111112222dddcccbbbaaa?dddcccbbbaaaa b cd1111111111112222? ? ?dddccc