微分幾何練習(xí)題庫及答案-wenkub
2023-07-09 23:00:32 本頁面
【正文】 87．曲面上的曲線是測地線的充分必要條件是ABCD（測地線的概念；中；4分鐘）A 滿足方程的曲線B滿足的曲線C除了曲率為零的點(diǎn)外，曲線的主法線重合于曲面的法線 D滿足的曲線E 滿足的曲線四、敘述題第三章88．曲面。【解】由曲面的第一類基本量所決定的量叫曲面的內(nèi)蘊(yùn)量．92．第二基本形式?！窘狻壳娴膬蓚€主曲率之積叫曲面的高斯曲率．97．極小曲面。（基本向量、曲率、撓率；中；15分鐘）①求基本向量，；②求曲率和撓率；【解】①由題意有，又由公式有②由一般參數(shù)的曲率公式及撓率公式 有。又，故 。（撓率；中；10分鐘）【證明】設(shè)，整理比較兩邊同次項(xiàng)可得，則有，即曲線為直線，且有．第三章114．求證正螺面上的坐標(biāo)曲線（即曲線族曲線族）互相垂直．（坐標(biāo)曲線、夾角；5分鐘）【證明】設(shè)正螺面的參數(shù)表示是，則 ，故正螺面上的坐標(biāo)曲線互相垂直．115．證明馬鞍面上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)．（點(diǎn)的分類、第二基本量；中；15分鐘）【證明】參數(shù)表示為，則，，，故馬鞍面上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)．116．如果曲面上某點(diǎn)的第一與第二基本形式成比例，即與方向無關(guān)，則稱該點(diǎn)是曲面的臍點(diǎn)；如果曲面上所有點(diǎn)都是臍點(diǎn)，則稱曲面是全臍的．試證球面是全臍的．（臍點(diǎn)；難；15分鐘）【證明】設(shè)球面的參數(shù)表示為，則，，，，，故球面是全臍的．117．證明平面是全臍的．（臍點(diǎn)；易；5分鐘）【證明】設(shè)平面的參數(shù)表示為，則，，，故平面是全臍的．118．設(shè)有曲面，試證曲面的第二基本形式與函數(shù)的二階微分成比例．（第二基本形式；較難；10分鐘）【證明】設(shè)曲面的參數(shù)表示為，則，，，．119．證明曲面的所有點(diǎn)為拋物點(diǎn)．（點(diǎn)的分類、第二基本量；中；15分鐘）【證明】記曲面的參數(shù)表示為，則， ， ， ， ，， ， 曲面的所有點(diǎn)為拋物點(diǎn)．120．求證正螺面是極小曲面．（平均曲率；中；15分鐘）【證明】，，，故正螺面是極小曲面．121．證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn)．（點(diǎn)的分類、平均曲率；中；5分鐘）【證明】， ， 當(dāng)時， 極小曲面的點(diǎn)都是平點(diǎn)；當(dāng)時，極小曲面的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)．第四章122．證明若曲面上有兩族測地線交于定角，則曲面的高斯曲率為零．（高斯曲率；難；10分鐘）【證明】在每族測地線中任取兩條，圍成曲面上的曲邊四邊形．根據(jù)已知條件，曲邊四邊形的外角和為由高斯波涅公式有，．若在曲面上的某點(diǎn)處，不妨設(shè)，則在點(diǎn)的鄰近，從而對于圍繞點(diǎn)的充分小的曲邊四邊形有，得出矛盾，所以，即曲面為可展曲面．123．求證半徑為的球面上測地三角之和為其中為測地三角形的面積．（高斯波涅定理；難；【證明】由高斯波涅公式有．對于半徑為的球面有，所以，其中為測地三角形的面積．124．若曲面的高斯曲率處處小于零，則曲面上不存在圍成單連通區(qū)域的光滑的閉測地線．【證明】設(shè)若存在所述閉測地線，它所圍成的曲面部分為，則由高斯波涅公式．因?yàn)?，則，又后兩項(xiàng)均為0，得出矛盾．所以不存在所述測地線．19。由知。由所取點(diǎn)的任意性可知，該曲線與曲線的切向量成定角．110
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