微分幾何第四版習(xí)題答案梅向明-wenkub
2023-07-09 23:00:29 本頁(yè)面
【正文】 面的第一基本形式為I = ，求曲面上三條曲線u = v, v =1相交所成的三角形的面積。分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解 ，∴ I =，∵Ｆ＝０，∴坐標(biāo)曲線互相垂直。于是，四面體的體積為：是常數(shù)。5．證明曲面的切平面和三個(gè)坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常數(shù)。解 = ，=任意點(diǎn)的切平面方程為即 xcoscos + ycossin + zsin a = 0 ；法線方程為 。1曲面的概念={ u ,u , bv }的坐標(biāo)曲線.解 u曲線為={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,0}，為曲線的直母線；v曲線為={,bv }為圓柱螺線．２．證明雙曲拋物面＝｛a（u+v）, b（uv）,2uv｝的坐標(biāo)曲線就是它的直母線。證 u曲線為={ a（u+）, b（u）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示過(guò)點(diǎn){ a, b,0}以{a,b,2}為方向向量的直線。4．求橢圓柱面在任意點(diǎn)的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面 。 證 。167。３．在第一基本形式為I =的曲面上，求方程為u = v的曲線的弧長(zhǎng)。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量，曲線u + v = 0與u – v = 0的交點(diǎn)為u = 0, v = 0,交點(diǎn)處的第一類基本量為。解 三曲線在平面上的圖形（如圖）所示。3曲面的第二基本形式1. 計(jì)算懸鏈面={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解 ={sinhucosv,sinhusinv,1},={coshusinv,coshucosv,0}={coshucosv,coshusinv,0},={sinhusinv,sinhucosv,0},={coshucosv,coshusinv,0},= coshu,=0,=coshu.所以I = coshu+ coshu .==,L=, M=0, N==1 . 所以II = + 。即在球面上，對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)(u,v)，沿任意方向du:dv或，所以，即第一、第二類基本量成比例。8. 求曲面的漸近線.解 曲面的向量表示為,..漸近線的微分方程為,即一族為dy=0, 即,為常數(shù). 另一族為2ydx=xdy, 即.9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面,與曲線(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上是漸近線.方法二：任取曲線，它的主法線曲面為，在曲線上，t = 0 , ,曲面的單位法向量，即，所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.10. 證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證 曲面的向量表示為 ={x,y, f(x)+g(y)},x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐
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