【正文】 變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。由（21）式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 (式22)這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)流程圖如下：數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo) 模擬濾波器 技術(shù)指標(biāo) 數(shù)字濾波器 模擬濾波器 模擬濾波器 設(shè)計(jì)方法變換變換圖21 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟流程圖成熟的模擬濾波器設(shè)計(jì)方法主要有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。利用模擬濾波器成熟的理論設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的過程是：(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率、通帶最大衰減、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)，然后將按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。圖中，ωp和ωs分別為通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率；δ1和δ2分別為通帶波紋和阻帶波紋；允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)所允許的最大衰減（dB）和阻帶內(nèi)允許的最小衰減（dB）分別為αp和αs表示： （式15） （式16）一般要求：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。數(shù)字濾波器的頻響特性函數(shù)一般為復(fù)函數(shù)，所以通常表示為： （14）其中，||稱為幅頻特性函數(shù)，Φ(w)稱為相頻特性函數(shù)。經(jīng)典數(shù)字濾波器從濾波特性上分類，可以分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。 數(shù)字濾波器的分類按照不同的分類方法，數(shù)字濾波器有許多種類，但總起來可以分成兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。輸入數(shù)字信號（數(shù)字序列）通過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過程，也可以理解為是一臺計(jì)算機(jī)。數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變系統(tǒng)。完 成 期 限： 指導(dǎo)教師簽名： 課程負(fù)責(zé)人簽名： 年 月 日基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)摘 要利用MATLAB 設(shè)計(jì)濾波器,可以按照設(shè)計(jì)要求非常方便地調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù),極大地減輕了設(shè)計(jì)的工作量,有利于濾波器設(shè)計(jì)的最優(yōu)化?；疽螅焊鶕?jù)給定的各類濾波器的技術(shù)指標(biāo)，分別設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)數(shù)字高通濾波器、數(shù)字帶通濾波器和數(shù)字帶阻濾波器，并據(jù)此進(jìn)行分析總結(jié)：在相同的技術(shù)指標(biāo)要求下，用不同的模擬原型濾波器實(shí)現(xiàn)有何異同。在相同的技術(shù)指標(biāo)要求下，用不同的模/數(shù)轉(zhuǎn)換方法實(shí)現(xiàn)有何異同。Matlab因其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理功能被廣泛應(yīng)用于工程計(jì)算,其豐富的工具箱為工程計(jì)算提供了便利,利用Matlab信號處理工具箱可以快速有效地設(shè)計(jì)各種數(shù)字濾波器,設(shè)計(jì)簡單方便。數(shù)字濾波器可以理解為是一個(gè)計(jì)算程序或算法，將代表輸入信號的數(shù)字時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為代表輸出信號的數(shù)字時(shí)間序列，并在轉(zhuǎn)化過程中，使信號按預(yù)定的形式變化。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號濾波器提供運(yùn)算規(guī)則，使其按照這個(gè)規(guī)則完成對輸入數(shù)據(jù)的處理。經(jīng)典濾波器的特點(diǎn)是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分占有不同的頻帶，通過一個(gè)合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號，達(dá)到濾波的目的。圖11 各種理想濾波器的幅頻特性數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻特性反映各頻率通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。圖12 低通濾波器的技術(shù)要求 2 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般有兩種方法：一個(gè)是借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行。這是因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器一、設(shè)計(jì)原理利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即 (式23)才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即 (式24)但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。圖23脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象對某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時(shí)間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。 雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖24所示。首先,把z=ejω，可得 （式211）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。圖25雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（212）及圖24所示。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。數(shù)字濾波器的參數(shù)指標(biāo)參數(shù)變化模擬濾波器的參數(shù)數(shù)字濾波器模擬濾波器離散化標(biāo)模擬濾波器的設(shè)計(jì)圖31 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟 （）式中，N為正整數(shù)，稱為濾波器的階數(shù)。低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟如下：（1） 確定階數(shù)N。 Ws=*pi/T。As=100。 %調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)[B,A]=butter(N,Wn,39。)。 %調(diào)用脈沖響應(yīng)不變法 Hz=freqz(D,C,W)。Frequency/Hz39。)。 %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T。s39。,39。 %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W)。 %繪出巴特沃斯數(shù)字高通濾波器的幅頻特性曲線grid on。ylabel(39。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯帶通濾波器，程序如下：Wp1=*pi/T。 %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1。 %設(shè)置通帶最大和最小衰減Wp=[Wp1,Wp2]。)。s39。 %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) [D,C]=impinvar(B,A,fs)。xlabel(39。Magnitude39。 Ws1=*pi/T。 %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1。[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,39。bandpass39。 %調(diào)用butter函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器W=linspace(0,pi,1000*pi)。 %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz))。)。圖35雙線性變換法設(shè)計(jì)的巴特沃斯帶通濾波器運(yùn)行波形 ，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為100dB。Ws2=*pi/T。As=100。s39。,39。 %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W)。 %繪出巴特沃斯數(shù)字帶阻濾波器的幅頻特性曲線grid on。ylabel(39。 Wp2=*pi/T。 %設(shè)置采樣周期為1fs=1/T。Ws=[Ws1,Ws2]。 %調(diào)用butter函數(shù)確定巴特沃斯濾波器階數(shù)[B,A]=butter(N,Wn,39。)。 %調(diào)用雙線性變換法 Hz=freqz(D,C,W)。Frequency39。)。當(dāng)N大于或等于1時(shí)，切比雪夫多項(xiàng)式遞推公式為：切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)N等于通帶內(nèi)等幅波動(dòng)的次數(shù)，即最大值和最小值的總數(shù)，可由下式確定， ()其中均為與衰減有關(guān)的參數(shù)，Ap為通帶內(nèi)的最大衰減，As為阻帶內(nèi)的容許衰減，它們的單位為。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫1型高通濾波器，程序如下：Wp=*pi/T。 %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1。)。s39。 %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng) [D,C]=impinvar(B,A,fs)。xlabel(39。Magnitude39。 %設(shè)置歸一化通帶和阻帶截止頻率T=1。 %設(shè)置通帶最大和最小衰減 [N,Wc]= cheb1ord(Wp,Ws,Ap, As,39。high39。 %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫Ⅰ濾波器W=linspace(0,pi,400*pi)。 %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz))。)。圖39雙線性變換法設(shè)計(jì)的切比雪夫1型濾波器運(yùn)行波形用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)切比雪夫2型高通濾波器，程序如下：Wp=*pi/T。 %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1。)。 %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫2濾波器W=linspace(0,pi,400*pi)。 %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz))。)。圖310脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的切比雪夫2型濾波器運(yùn)行波形用雙線性變換法設(shè)計(jì)切比雪夫2型高通濾波器，程序如下：Wp=*pi/T。 %采樣頻率為周期倒數(shù)Ap=1。)。 %調(diào)用 函數(shù)設(shè)計(jì)切比雪夫2濾波器W=linspace(0,pi,400*pi)。 %返回頻率響應(yīng) plot(W/pi,abs(Hz))。)。圖311雙線性變換法設(shè)計(jì)的切比雪夫2型濾波器運(yùn)行波形，通帶最大衰減為1dB，阻帶最小衰減為100dB。Ws2=*pi/T。As=100。s39。,39。 %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W)。 %繪出切比雪夫Ⅰ數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性曲線grid on。ylabel(39。 Wp2=*pi/T。 fs=1/T。As=100。 %調(diào)用 函數(shù)確定切比雪夫Ⅰ濾波器階數(shù)[B,A]=cheby1(N,Ap,Wc,39。)。 %調(diào)用雙線性變換法 Hz=freqz(D,C,W)。Frequency39。)。Ws2=*pi/T。As=100。s39。,39。 %指定一段頻率值 hf=freqs(B,A,W)。 grid on。ylabel(39。 Wp2=*pi/