平穩(wěn)隨機信號的功率譜-頻域特征-wenkub
2023-05-27 18:33:46 本頁面
【正文】 0022 )22si n (22???? ??? taa解： taa 0222si n2 ????不是寬平穩(wěn)的 )(tX?2022/5/27 12 ??? )]([ 2 tXEAQ2)2si n2(212022l i madttaaTTTT??? ??????2022/5/27 13 ?功率譜密度： 描述了隨機信號 X(t)的 功率在各個不同頻率上的分布 —— 稱為隨機信號 X(t)的功率譜密度。第 2章 平穩(wěn)隨機信號的譜分析 2022/5/27 2 本章要解決的問題 ?隨機信號是否也可以應用頻域分析方法 ? ?傅里葉變換能否應用于隨機信號？ ?相關函數(shù)與功率譜的關系 ?功率譜的應用 ?采樣定理 ?白噪聲的定義 2022/5/27 3 隨機信號的譜分析 一、預備知識 1. 付氏變換 設 x(t)是時間 t的非周期實函數(shù)，且 x(t) 滿足 ? 在 范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件 )(tx ),( ????? 絕對可積，即 )(tx??????? dttx )(? 信號的總能量有限，即 )(tx ??????? dttx2)(有限個極值 有限個斷點 斷點為有限值 2022/5/27 4 則 的傅里葉變換為： )(txdtetxX tjX ? ??? ?? ?? )()( 其反變換為： ??? ? deXtx tjX? ???? )(2 1)(稱 為 的頻譜密度，也簡稱為頻譜。 )(?XS)(?XS?對 在 X(t)的整個頻率范圍內(nèi)積分，便可得到 X(t)的功率。 )(?XR??????000)(2)(???? XXSG2022/5/27 20 ??tX ? ??XR ? ??XS??taX ? ??XRa2 ? ??XSa2??dttdX ? ??? XS2? ?22 ? ?dRd X?? ?nndttXd ? ??? XnS2? ? ? ?nXnndRd2221???? ? tjetX 0?? ? ? tjX eR 0?? ? ? ?0?? ?XSX(t)變換的功率譜密度 2022/5/27 21 例 2：平穩(wěn)隨機信號的自相關函數(shù)為 ，A0， ，求過程的功率譜密度。 ?? dR X?? ?－ )()(?XR??? ? ?? ?? ?? ? ?? ?????? ???? deAdeRS iiXX )c o s(2)()( 02? ??? ???? ??????? deeeA jjj 22 002 )2)( c o s( 000 ?????? jj ee ???? ??? ???? ??????? deeeA jjj ）（ 004 2)]()([2 002 ??????? ???? A ))(2( 00 ?????? ??je2022/5/27 24 例 4：設隨機信號 ，其中 皆為常數(shù)， 為具有功率譜密度 的平穩(wěn)隨機信號。在時間范圍 (T， T)內(nèi)，兩個隨機信號的互功率 為 :（注意 、 為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時間平均） ? ?txT ? ?tyT)(TQXY? ?txT ? ?tyT??? TT TTXY dttytxTTQ )()(2 1)(??? TT dttytxT )()(21 由于 、 的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對它們也適用，即 : ??txT ? ?tyT2022/5/27 31 ???? dttytx TT )()(* ? ???? ???? dTYTX YX ),(),(2 1 *????? dttytx TT )()(??? TTXY dttytxTTQ )()(2 1)(? ???? ???? dT TYTX YX 2 ),(),(2 1 * 注意到上式中， 和 是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機性，取數(shù)學期望，并令 得： )(tx )(ty??T2022/5/27 32 ])()(2 1[l i m)]([l i m dttytxTEQTQE T TTXYXYT ?????? ??]),(2 1[lim dtttRT TT XYT ?????*[ ( , ) ( , ) ]1 l im22XYTE X T Y T dT?? ????? ??? ? 定義互功率譜密度為： *1( ) l i m [ ( , ) ( , ) ]2X Y X YTS E X T Y TT? ? ??????? dSQ XYXY ? ???? )(2 1則 2022/5/27 33 同理，有： *1( ) l i m [ ( , ) ( , ) ]2Y X Y XTS E Y T X TT? ? ??????? dSQ YXYX ? ???? )(2 1YXXY ?且 2022/5/27 34 二、互譜密度和互相關函數(shù)的關系 若 X(t)、 Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有 )()( ?? XYXY SR ?? ??? ?? ??? ?? deRS jXYXY )()(? ???? ???? ?? deSR jXYXY )(2 1)(即 對于兩個聯(lián)合平穩(wěn) (至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn) )的實隨機信號，它們的互譜密度與其互相關函數(shù)互為傅里葉變換。 )(2 1)( ??? ?式中， D為在 的收斂域內(nèi)環(huán)繞 z平面原點反時針旋轉的一條閉合圍線。 zSX )(?XS解： mmmmmmX zazazS????????? ?? ??0139。(s i n ()()39。 （ 3）白噪聲在數(shù)學處理上具有簡單、方便等優(yōu)點。 )(?XS)(?XR W?2022/5/27 62 2. 帶通
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