【正文】 n a p + (1 a) q a p1+ (1 a) q1 a p2 + (1 a) q2 ? a pn + (1 a) qn (二 ) 賭博行為 實際問題 ：甲 、 乙兩個球迷在為 巴西 法國 足球比賽的勝負爭執(zhí)不休。所以，彩票 t 是一種 以概率 a 獲得彩票 p， 以概率 1 a 獲得彩票 q 的新型彩票，稱為 p 與 q 的 復合彩票 。可見，設計一種彩票，既不讓發(fā)行者虧本，又能讓每個消費者都購買的條件是： A/a ? min{Ui /ui : i = 1,2,? , m}。消費者 i 購買彩票，獲獎后效用增加 U i，不獲獎則效用損失 u (即損失了 a 元錢的效用 )。這樣的彩票。可以假定，一等獎讓消費者凈增加的效用最多 , 二等獎次之 , ? , n 等獎 (無獎 ) 2. 彩票的設計 的效用增量為負 (只有付出，沒有所 獲 ) 。比如彩票 A 的獎品有 a,b,c，彩票 B 的獎品有 x,y,z，則可視彩票 A 和 B 的獎品都為 a,b,c,x,y,z，只不過購買彩票 A 獲得獎品 x,y,z 的概率是 0，購買彩票 B 獲得獎品 a,b,c 的概率也是 0。獲得 i 等獎的概率為 pi ( i = 1,2,? , n )，抽彩人獲得 i 等獎后可得到的效用為 Ui個單位。 如果 EU EV ，則抽彩人更喜歡會足球彩票，他的選擇就是購買足球彩票。用 EU 表示福利彩票的預期效用， EV 表示足球彩票的預期效用： EU = pU1 + (1 p)U2， EV = qU1 + (1 q)U2。 (一 ) 抽彩選擇 現(xiàn)有兩種獎品相同的彩票：福利彩票和足球彩票，抽彩者如中獎，即可得自行車一輛。 例 2 賭博 (gamble) 賭博是一種典型的依靠隨機因素來決定收入的現(xiàn)象，用它可來區(qū)別一個人是風險愛好者還是風險厭惡者還是風險中立者。 例 1 彩票 (lottery) 發(fā)行彩票是一種常見的低成本籌資手段。 風險性 (risk)是指人們雖然不能確定某種經(jīng)濟行為一定會發(fā)生某種結(jié)果，但能夠確定發(fā)生某種結(jié)果的可能性大小，或者說，經(jīng)濟行為產(chǎn)生某種結(jié)果的概率是客觀存在的。然而經(jīng)濟活動并非總是在確定的環(huán)境中進行，比如貸款消費同未來收入有關，而未來是不確定的；股票的購買與股票價格有關，而股票價格的變化是不確定的。這種在帶有不確定性的環(huán)境中的消費可能更為常見，更符合現(xiàn)實，因此有必要研究不確定環(huán)境中的消費選擇問題。 無常性 (uncertainty)是指人們既不能確定某種經(jīng)濟行為一定會發(fā)生某種結(jié)果，又不能確定發(fā)生某種結(jié)果的可能性大小。購買彩票有可能獲得獎品，甚至可能獲得大獎，有些人就是靠購買彩票碰運氣發(fā)了家。當把通常的體育比賽、打麻將、玩撲克等游戲與收入緊密聯(lián)系起來時，它們就成了賭博。假定福利彩票的中獎概率為 p (不中獎的概率便是 1p)，足球彩票的中獎概率為 q (不中獎的概率便是 1 q)。 抽彩人究竟會購買哪一種彩票，取決于 EU 與 EV 的比較。 如果 EU = EV ，即兩種彩票對抽彩人的預期效用相同，則可認為這兩種彩票抽彩人來說無差異，購買哪一個都可以。于是，這種彩票可用它的中獎概率分布 p = ( p1, p2,? , pn) 來表示。這樣，消費者依然是按照 A 和 B 的預期效用比較來選擇的。于是，彩票 p186。 實際情況是一段時間內(nèi)消費者面對的只有一種彩票，消費者只需決定是否購買它。注意，一件獎品需要的彩票張數(shù)應不少于 A/a +1。這就是說，要想彩票發(fā)行成功，設計的獎品必須對消費者有足夠大的效用：特別向往。 可以看出，購買復合彩票 t 獲得 i 等獎的概率為 a pi +(1 a)qi。甲認為巴西隊贏，乙認為法國隊贏。那么他們倆人是否要進行這場賭博呢？ 問題分析 ：甲和乙之所以爭論，是因為各人有各人的信息，各人有各人的判斷。則 p 1? p ， q 1? q 。甲和乙各自根據(jù)自己的概率判斷計算出賭博的預期效用： 甲的預期效用： EU = p u(100) + (1? p) u(0) 乙的預期效用： EV = q v(0) + (1? q) v(100) 如果 EU u(50)，即甲參加賭博的預期效用大于不賭的效用，那么甲會參加賭博?？梢?，一個人是否接受賭博，關鍵看他打賭的預期效用是否大于不賭的效用。某人現(xiàn)有收入 W 元，貨幣收入效用函數(shù)為 U (r)。 盈性賭博 簡稱 盈賭 , 是指 參賭的預期收入大于不賭的收入 : ER(G,W ) W ； 虧性賭博簡稱 虧賭 , 是指 參賭的預期收入小于不賭的收入： ER(G,W ) W。如果一個人認為參加公平賭博比不參加好，即他認為公平賭博的預期效用大于不賭的效用，那么就可以說他是 風險愛好者 ，是喜歡冒險的人，稱為 冒險者 。 風險愛好者 風險厭惡者 風險中立者 W+W1 W+W2 W W+W1 W W+W2 W+W2 W W+W1 r r r U U U U1 U2 U1 U1 U2 U2 U(W) EU EU EU U(W) U(W) 風險愛好者 風險厭惡者 風險中立者 公平賭博 : ER =W 賭 : EU U (ER)=U (W ) 不賭 : EU U (ER ) =U (W ) 一樣 : EU =U (ER)=U (W ) 盈性賭博 : ER W 賭 : EU U (ER)U (W ) 可能不賭 : EU U (ER) U (W ) 賭 : EU =U (ER)U (W ) 虧性賭博 : ER W 可能賭 : EU U(ER)U (W ) 不賭 : EU U (ER ) U (W ) 不賭 : EU =U (ER)U (W ) 對待風險的態(tài)度比較 (假定效用函數(shù) U 嚴格遞增 ) (三 ) 職業(yè)選擇 某人面對兩種工作，需要選擇一種。 第二種工作 是在國企當售貨員，平常的月收入為 1510元。 和 ?2178。 = 250000 ?2178。 ?2178。 ?1178。 = ?(15101500)178。 在這種預期收入不同、風險不同的工作面前，要回答人們究竟如何具體選擇的問題，需要對風險行為進行深入的研究。 所謂 風險環(huán)境 是指這樣的一種選擇環(huán)境，其中人們的選擇究竟會出現(xiàn)哪種結(jié)果依賴于一些自然狀態(tài)，而這些自然狀態(tài)出現(xiàn)與否是隨機的。用 F 表示 ? 上 的事件域，其中每個事件發(fā)生的概率都客觀存在；用 P : F ?[0,1] 表示 事件域 F 上這個客觀存在的 概率測度。設一切可能的選擇結(jié)果的全體為集合 S ? R。 在風險環(huán)境中，雖然消費者 還是選擇 S 中的商品向量，但究竟選擇哪個向量則 與 哪個自然狀態(tài)出現(xiàn)有關。為了正確理解風險選擇集合，需要注意以下兩點： l l (1)在 ? 為無限集合的情況下， 事件域 F 不是 ? 的冪集。 作為風險行為，就必然要求能夠把握行為的風險大小，因而要求必須是隨機向量 。這樣，我們就有 S ? X (S )，即 風險選擇集合 X 是確定性選擇集合 S 的擴充。退化的風險行為 xs 的預期就是 s , 即 E[xs] = s。因此，風險行為的預期是一種確定性選擇行為。 既然隨機向量可與其分布函數(shù) (或密度函數(shù) )等同 看待，風險選擇集合 X(S )也就可用分布函數(shù)集合 D(S )來表示： D = D (S ) = { f : f 是 X 中的隨機向量的分布函數(shù) } 用 D (S )代替 X (S )的好處在于 D (S )是凸集合。下面就來解釋之。 設 A 為某個概率為 p的事件，則 p x ? (1 p) y 表示： 若事件 A 發(fā)生 , 按照 x 進行隨機選擇；若 A 未發(fā)生 , 按照 y 進行選擇 。到此可以說， 風險選擇集合 D (S )是凸集 。如果這個偏好關系 p能夠用預期效用函數(shù) EU 加以表示，就說明消費者在D(S )中確實是依據(jù)預期效用大小進行選擇的。 這條性質(zhì)也就叫做 預期效用性質(zhì) 。 連續(xù)性公理 ： 對任何 f, g, h?D (S )，集合 [ f , g ] 和 [ f , g ] 都是閉集，其中 [ f , g ] = { p?[0,1]: p f +(1 p)