復(fù)習(xí)推理與證明ppt課件-wenkub
2023-05-13 23:33:40 本頁(yè)面
【正文】 綜合法 ( 1 ) 一般地，對(duì)于命題 “ 若 A 則 D ” 用綜合法證明，思考過(guò)程可表示為： 綜合法的思考過(guò)程是由因?qū)Ч捻樞颍菑?A 推演達(dá)到 D 的途徑，但由 A 推演出的中間結(jié)論未必唯一，如 B ， B1， B2等，可由 B ，B1， B2推演出的進(jìn)一步的中間結(jié)論則可能更多，如 C ， C1， C2， C3，C4等，最終能有 一個(gè) ( 或多個(gè) ) 可推演出結(jié)論 D 即可． ( 2 ) 用綜合法證明的基本步驟 第一步：分析題目的條件，搜尋已知條件和要證結(jié)論之間的有關(guān)數(shù)學(xué)公理、定理，確定解決問(wèn)題的方法； 第二步：綜合所得信息進(jìn)行推理論證，從而證得結(jié)論． ( 3 ) 用綜合法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往先作語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言，或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言等，還要通過(guò)細(xì)致地分析，把其中的隱含條件明確表示出來(lái)． ( 4 ) 用綜合法證明時(shí)，步驟的敘述用肯定的語(yǔ)氣按證明思路敘述下來(lái)即可． 5 ． 分析法 ( 1 ) 用分析法思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的順序可表示為 ( 對(duì)于命題 “ 若 A 則D ” ) 分析法的思考順序是執(zhí)果索因的順序，是從 D 上溯尋其論據(jù)，如 C ， C1， C2等，再尋求 C ， C1， C2的論據(jù)，如 B ， B1， B2， B3，B4等，繼而尋求 B ， B1， B2， B3， B4的論據(jù)，如果其中之一 B 的論據(jù)恰為已知條件，于是命題已經(jīng)得證． ( 2 ) 用分析法證明的步驟及書寫格式 要證 Q 成立，只要證明 P1，即證 P2，只需證 P3， ? ，即證 P ，因?yàn)?P 成立，所以 Q 成立． ( 3 ) 用分析法證題時(shí)，一定要嚴(yán)格按格式書寫，并且保證分析過(guò)程的每一步都是可以逆推的，否 則可能會(huì)出錯(cuò)． ( 4 ) 分析綜合法 分析法的思想是逆向思維，它能增大思維的發(fā)散量，克服思維定勢(shì)的影響，有利于發(fā)展求異思維．在解題過(guò)程中，分析法和綜合法是統(tǒng)一的，不能把綜合法和分析法孤立起來(lái)使用，更常用的是一頭分析，一頭綜合，從兩頭逐步向中間靠攏，最后接通邏輯思路，這種方法叫分析綜合法． 6 ． 反證法 要證明某一結(jié)論 A 是正確的，但不直接證明，而是先去證明 A的反面 ( 非 A ) 是錯(cuò)誤的，從而斷定 A 是正確的，即反證法就是通過(guò)否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來(lái)達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法． ( 1 ) 用反證法證明 問(wèn)題的一般步驟： ① 分清命題的條件和結(jié)論； ② 作出與命題結(jié)論相矛盾的假定命題 ( 否定結(jié)論 ) ； ③ 從假定和條件出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果 ( 推導(dǎo)矛盾 ) ； ④ 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接證明了原命題為真命題． ( 2 ) 反證法主要適用于以下兩種情形： ① 要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰； ② 如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只需研究一種或很少的幾種情形． ③ 可能出現(xiàn)矛盾的四種情況： ( ⅰ ) 與題設(shè)矛盾； ( ⅱ ) 與反設(shè)矛盾； ( ⅲ ) 與公理、定理矛盾； ( ⅳ )在證明過(guò)程中，推出自相矛盾的結(jié)論． (3 ) 用反證法證明問(wèn)題時(shí)要注意以下三點(diǎn)： ① 必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的； ② 反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法； ③ 推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)相矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的． (4 ) 反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的 . 原結(jié)論詞 至少有一個(gè) 至多有一個(gè) 至少有n 個(gè) 至多有 n 個(gè) 反設(shè)詞 一個(gè)也沒(méi)有( 不存在 ) 至少有兩個(gè) 至多有n － 1 個(gè) 至少有 n ＋ 1 個(gè) 原結(jié)論詞 只有一個(gè) 對(duì)所有 x成立 對(duì)任意 x不成立 反設(shè)詞 沒(méi)有或至少有兩個(gè) 存在某個(gè)x 不成立 存在某個(gè) x成立 原結(jié)論詞 都是 一定是 p 或 q p 且 q 反設(shè)詞 不都是 一定不是 綈 p 且 綈 q 綈 p 或 綈 q 7. 數(shù)學(xué)歸納法及其原理 ( 1 ) 定義：數(shù)學(xué)歸納法是證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命 題的一種方法．即先證明當(dāng) n 取第一個(gè)值 n0( 例如 n0＝ 1) 時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N*， k ≥ n0) 時(shí)命題成立．并證明當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)命題也成立，那么就證明這個(gè)命題成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． ( 2 ) 原理：這是因?yàn)榈谝徊绞紫闰?yàn)證了 n 取第一個(gè)值 n0，這樣假設(shè)就有了存在的基礎(chǔ)．至少 k ＝ n0成立．由假設(shè)和合理推證，證明出 n ＝ k ＋ 1 也成立．這實(shí)質(zhì)上是證明了一種循環(huán)．如驗(yàn)證了 n0＝ 1成立，又證明了 n ＝ k ＋ 1 也成立，這就一定有 n ＝ 2 成立， n ＝ 2 成立，則 n ＝ 3 也成立； n ＝ 3 成立，則 n ＝ 4 也成立．如此反復(fù)以至無(wú)窮 ，對(duì)所有 n ≥ n0的整數(shù)就都成立了． ( 3 ) 數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關(guān)的命題 的一種方法．它是一種完全歸納法，它的證明共分兩步，其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為 “ 歸納基礎(chǔ) ” ( 或稱特殊性 ) ．第二步解決的是延續(xù)性問(wèn)題 ( 又稱傳遞性 ) ．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題 要注意以下幾點(diǎn)： ① 兩個(gè)步驟，缺一不可； ② 第二步中，證明 “ 當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)結(jié)論正確 ” 的過(guò)程里，必須利用 “ 歸納假設(shè) ” 即必須用上 “ 當(dāng) n ＝ k 時(shí)結(jié)論正確 ” 這一條件，不用歸納假設(shè)的證明是錯(cuò)誤的． ③ 在第二步的證明中， “ 當(dāng) n ＝ k 時(shí)結(jié)論正確 ” 這一歸納假設(shè)起著已知的作用 ； “ 當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)結(jié)論正確 ” 則是求證的目標(biāo)．
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