【正文】 義無理指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實指數(shù)乘冪，并保持有理批數(shù)冪的基本性質(zhì).定義２．給定實數(shù) ，設(shè) 為無理數(shù)，我們規(guī)定：0,1a??x??sup|,1|0rxx a????????r為 有 理 數(shù) 當 時inf為 有 理 數(shù) 當 時 .這樣解決了中學數(shù)學僅對有理數(shù) ｘ 定義 xa的缺陷．[問題]：這樣的定義有意義否？更明確一點相應(yīng)的“確界是否存在呢？”２．初等函數(shù)定義３．由基本初等函數(shù)經(jīng)過在有限次四則運算與復合運算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)如：sin2 211sinco,sin(),lg,|.xaeyxyoyx??????不是初等函數(shù)的函數(shù)， Dirichlet函數(shù)、Riemann函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù).注：，除對基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外，定定義域時應(yīng)注意兩點.例２．求下列函數(shù)的定義域... . . ..學習參考（１）　 ； （２）　1xy??ln|si|.yx?: 設(shè)函數(shù) 和 都是初等函數(shù), 則)(fg（1） 是初等函數(shù), 因為 )(xf ??.)( 2xf?（2） 和 都是初等函數(shù),??)(,maxgf???? ,min)(?因為 , )(x??)(21xgfxgf??? .)(,inxf?)(（3）冪指函數(shù) 是初等函數(shù),因為???0)( )(?fg ?.)(ln)(ln)( xfgxfxeefg?［作業(yè)］ ： 　 3；4:（２） 、 （３） ；　5: （２） ；　7:（３） ；1115P167。) .UaaUxa?????????（5） 鄰域， 鄰域， 鄰域???（其中 M為充分大的正數(shù)） ；??()|,x??U??()Ux???二 、有界集與無界集 定義 1（上、下界）：設(shè) 為 ，使得一切 都有 ，則稱 S為有上（下）界()MLxS?()xML?? 稱為 S的上界（下界） ；若數(shù)集 S既有上界，又()有下界，則稱 S為有界集.閉區(qū)間 、開區(qū)間 為有限數(shù)） 、鄰域等都是有界數(shù)集，??,abba,( ) 集合 也是有界數(shù)集.??) , (,sin ?????xyE若數(shù)集 S不是有界集，則稱 S為無界集.等都是無界數(shù)集, ) 0(,) (,) (???集合 也是無界數(shù)集.???????? 1, , xyE注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界與 S的關(guān)系如何？看下例：例 1 討論數(shù)集 的有界性.??|Nn??為 正 整 數(shù)解：任取 ，顯然有 ，所以 有下界 1；0n?01?N?但 有上界 M,則 M0，按定義，對任意??.. . . ..學習參考，都有 ，這是不可能的，如取0nN??0nM?則 ，且 .??[]1?（ 符 號 表 示 不 超 過 的 最 大 整 數(shù) ） ， 0nN??0nM?綜上所述知： 是有下界無上界的數(shù)集，?例 2證明：（1）任何有限區(qū)間都是有界集；（2）無限區(qū)間都是無界集；（3）由有限個數(shù)組成的數(shù)集是有界集.[問題]：若數(shù)集 S有上界，上界是唯一的嗎？對下界呢？(答：不唯一　，有無窮多個).三 、確界與確界原理定義定義 2（上確界）　設(shè) S是 R中的一個數(shù)集，若數(shù) 滿足：(1) ?對一切 有 （即 是 S的上界）。)0||(,)(,)(o oUxaaUa????????（3） 的 右鄰域和點 的空心 右鄰域a???00(。2 數(shù)集和確界原理教學目的：使學生掌握確界原理，建立起實數(shù)確界的清晰概念.教學要求：(1)掌握鄰域的概念；(2)理解實數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運用.教學重點：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理）.教學難點：確界的定義及其應(yīng)用.教學方法：講授為主.教學程序：先通過練習形式復習上節(jié)課的內(nèi)容，以檢驗學習效果，此后導入新課.引 言上節(jié)課中我們對數(shù)學分析研究的關(guān)鍵問題作了簡要討論；此后又讓大家自學了第一章167。1實數(shù)授課章節(jié)：第一章實數(shù)集與函數(shù)——167。1 實數(shù)教學目的：使學生掌握實數(shù)的基本性質(zhì)．教學重點：(1)理解并熟練運用實數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；(2)牢記并熟練運用實數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個常見的不等式． （它們是分析論證的重要工具）教學難點：實數(shù)集的概念及其應(yīng)用．教學方法：講授． （部分內(nèi)容自學）教學程序：引 言上節(jié)課中，我們與大家共同探討了《數(shù)學分析》這門課程的研究對象、主要內(nèi)容等話題．從本節(jié)課開始，我們就基本按照教材順序給大家介紹這門課程的主要內(nèi)容．首先，從大家都較為熟悉的實數(shù)和函數(shù)開始．[問題]為什么從“實數(shù)”開始．答：《數(shù)學分析》研究的基本對象是函數(shù)，但這里的“函數(shù)”是定義在“實數(shù)集”上的（后繼課《復變函數(shù)》研究的是定義在復數(shù)集上的函數(shù)） ．為此，我們要先了解一下實數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．一、實數(shù)及其性質(zhì).. . . ..學習參考實數(shù) (,qp? ????有 理 數(shù) :任 何 有 理 數(shù) 都 可 以 用 分 數(shù) 形 式 為 整 數(shù) 且 0)表 示 ，也 可 以 用 有 限 十 進 小 數(shù) 或 無 限 十 進 小 數(shù) 來 表 示 .無 理 數(shù) :用 無 限 十 進 不 循 環(huán) 小 數(shù) 表 示 . ．??|Rx?一一[問題]有理數(shù)與無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對統(tǒng)一討論實數(shù)是不利的．為以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)” （包括整數(shù)）也表示為“無限小數(shù)” ．為此作如下規(guī)定：對于正有限小數(shù) 其中012.,nxa??，記 ；09,12,i na??? 為 非 負 整 數(shù) 01.()9nxa??? ?對于正整數(shù) 則記 ；對于負有限小數(shù)（包括0x0().9x??負整數(shù)） ，則先將 表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所得的小數(shù)之前加yy負號．0 表示為0＝ .?例： ；??利用上述規(guī)定，任何實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示．在此規(guī)定下，如何比較實數(shù)的大小？兩實數(shù)大小的比較1）定義 1給定兩個非負實數(shù) ， . ?? ? ?? ?中 為非負整數(shù)， 為整數(shù)， ．若有0,ab,kab(,2)? 9,kka??3..?? ??； ；.. . . ..學習參考，則稱 與 相等，記為 ；若 或存在非負,01,2kab?? xyxy?0ab?整數(shù) ，使得 ，而 ，則稱 大于 或 小于l,01,2kabl?? 1llab??y，分別記為 或 ．對于負實數(shù) 、 ，若按上述規(guī)定分別有xxy?x?xy或 ，則分別稱為 與 （或 ） ．y???y??x規(guī)定：任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù)．2） 實數(shù)比較大小的等價條件（通過有限小數(shù)來比較） ．定義 2（不足近似與過剩近似）： 為非負實數(shù)，?? ?有理數(shù) 為實數(shù) 的 位不足近似； ?? xn0x?的 位過剩近似， .0,2??對于負實數(shù) ，其 位不足近似 ；?? ? ???位過剩近似 .?注：實數(shù) 的不足近似 當 增大時不減，即有 ； xnx012x??過剩近似 當 n增大時不增，即有 ．012x??命題：記 ， 為兩個實數(shù)，則 ?? ? .nyb?? ? xy?價條件是：存在非負整數(shù) n，使 （其中 為 的 位不足近似，nx?nx為 的 位過剩近似） ．ny命題應(yīng)用例 1．設(shè) 為實數(shù)， ，證明存在有理數(shù) ，滿,xyxy?r足 ．xr?證明：由 ，知：存在非負整數(shù) n，使得 ．令xy?nxy?，則 r為有理數(shù)，且??12nr??．即 ．nnxy?xry?.. . . ..學習參考實數(shù)常用性質(zhì)（詳見附錄Ⅱ． ） ．28930P?1）封閉性（實數(shù)集 對 ）四則運算是封閉的．即任意兩R,???個實數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為 0）仍是實數(shù)．2）有序性： ，關(guān)系 ，三者必居其一，也,ab??,ab???只居其一.3）傳遞性： ， ．cR， ， ,ca若 ， 則4）阿基米德性： 使得 ．,0abnN??????b?5）稠密性：兩個不等的實數(shù)之間總有另一個實數(shù)．6）一一對應(yīng)關(guān)系：實數(shù)集 與數(shù)軸上的點有著一一對應(yīng)關(guān)系．R例 2．設(shè) ，證明：若對任何正數(shù) ，有 ，,ab???ab???則 ．a(chǎn)b?（提示：反證法．利用“有序性” ，取 ）???二、絕對值與不等式絕對值的定義實數(shù) 的絕對值的定義為 ．a(chǎn),0|a???????幾何意義從數(shù)軸看，數(shù) 的絕對值 就是點 到原點的距離． 表示a|a||xa?就是數(shù)軸上點 與 之間的距離．x性質(zhì)1） （非負性） ； ||0。1 ，我們先來檢驗一.. . . ..學習參考下自學的效果如何！證明：對任何 有：(1) ；(2) xR?|1|2|x???.||2|3|x????（ ）1()2,1xx???（ ）（ ）,????（ ） 三 式 相 加 化 簡 即 可證明： .||||yx??設(shè) ，證明：若對任何正數(shù) 有 ，則 .,abR??ab??ab?設(shè) ，證明：存在有理數(shù) 滿足 .xy?ryrx[引申]：①由題 1可聯(lián)想到什么樣的結(jié)論呢？這樣思考是做科！而要多想想，能否具體問題引出一般的結(jié)論：一般的方法？②由上述幾個小題可以體會出“大學數(shù)學”習題與中學的不同；理論性強，概念性強，推理有理有據(jù)，而非憑空想象；③課后未布置作業(yè)的習題要盡可能多做，以加深理解，盡快掌握本門課程的術(shù)語和工具.本節(jié)主要內(nèi)容：先定義實數(shù)集 R中的兩類主要的數(shù)集——區(qū)間與鄰域；討論有界集與無界集；由有界集的界引出確界定義及確界存在性定理（確界原理）.一 、區(qū)間與鄰域 區(qū)間（用來表示變量的變化范圍）.. . . ..學習參考設(shè) 且 . ，其中,abR?????有 限 區(qū) 間區(qū) 間 無 限 區(qū) 間 ????|(,)|[,]|,)(]xRabxabR???????????????開 區(qū) 間 : 閉 區(qū) 間 : 有 限 區(qū) 間 閉 開 區(qū) 間 :半 開 半 閉 區(qū) 間 開 閉 區(qū) 間??|[,).(]|,.)| .xRaxxR???????????????無 限 區(qū) 間鄰域聯(lián)想：“鄰居”.字面意思：“鄰近的區(qū)域”.與 鄰近的“區(qū)a域”很多，到底哪一類是我們所要講的“鄰域”呢？就是“關(guān)于的對稱區(qū)間” ；如何用數(shù)學語言來表達呢？a（1） 的 鄰域：設(shè) ，滿足不等式 的全體實a?,0aR???||xa???數(shù) 的集合稱為點 的 鄰域，記作 ，或簡記為 ，即x (。)[,)(。 (2) 對任何 ，存在,xS??? ??，使得 （即 是 S的上界中最小的一個） ，則稱數(shù) 為數(shù)集00??S的上確界，記作 sup.?從定義中可以得出：上確界就是上界中的最小者.命題 1 充要條件sME1） ；,x???2） .00,oSx??????使 得證明：必要性， 2）不成立，則， 與 ,o?使 得 均 有充分性（用反證法） ，設(shè) 不是 E的上確界，即 是上界，但0M?.令 ，由 2） ， ，使得 ，與M?0????0x??0x????是 定義 3（下確界）設(shè) S是 R中的一個數(shù)集，若數(shù) 滿足：（1）?對一切 有 （即 是 S的下界） ；（2）對任何 ，存在,xS??? ??，使得 （即 是 S的下界中最大的一個） ，則稱數(shù) 為數(shù)集00??.. . . ..學習參考S的下確界，記作 .infS??從定義中可以得出：下確界就是下界中的最大者.命題 2 的充要條件：if1） ；,xE????2） ＞0， ＜ ?00,Sx有 .???上確界與下確界統(tǒng)稱為確界.例 3（1） 則 1 ； 0 .,) 1(?????????nSsupS?infS?（2） 則 1 ； 0 .??.),0( ,i ??xyEsupinfS注：非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.命題 3：設(shè)數(shù)集 有上（下）確界，則這上（下）確界必是唯一A的.證明：設(shè) ， 且 ，則不妨設(shè)sup??sup???????A?x??有 ?對 ， 使 ，??????0xA?0x??例： ， ，0R?1nZ?????????1inf2Z?????????則有 .??5,391E?if5E