【正文】 鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段。因此，演繹法是一種必然的推理，它是一種嚴(yán)格的邏輯證明方法。但真正比較明確使用數(shù)學(xué)歸納法的是意大利數(shù)學(xué)家、物理天文學(xué)家和工程師莫洛里科斯（F. Maurolycus, 1494 1575），真正明確數(shù)學(xué)歸納法證明兩步的應(yīng)該還是17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家帕斯卡( B. Pascal, 1623 ~1662)，他最早將數(shù)學(xué)歸納法的證明用形式的兩步明確下來(lái)。數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)教學(xué)中常用在證明下列命題：與自然數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)列、幾何、整除性、計(jì)數(shù)、矩陣等等。 引言 數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法。數(shù)學(xué)歸納法是一種重要且獨(dú)特的證明方法,對(duì)與自然數(shù)有關(guān)的命題證明是可行有效的，它使學(xué)生了解一種“化無(wú)限為有限”的辯證思維方法，而且它又不是那么直觀易懂的，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的過(guò)程中，總會(huì)產(chǎn)生一個(gè)這樣的疑問(wèn)，在用數(shù)學(xué)歸納法證明表達(dá)式中，證明三步驟是不是真的完整呢，真僅是純粹的假設(shè),一旦不真,用它去推真，豈不是“無(wú)稽之談”，即使推出真能保證真嗎？如果讓學(xué)生帶著這種疑問(wèn)去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法肯定會(huì)影響他們的學(xué)習(xí)情感的。當(dāng)然老師會(huì)說(shuō)這是非常完整的,那么他們又是根據(jù)什么原理來(lái)說(shuō)明自己是正確的呢。論證的第一步是證明命題在(或)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在時(shí)命題成立，再證明時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。 數(shù)學(xué)歸納法的來(lái)源數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個(gè)較長(zhǎng)的歷史時(shí)期，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯利用點(diǎn)子數(shù)對(duì)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題進(jìn)行探討．他確信無(wú)疑地得出：畢達(dá)哥拉斯可能以為這就是一種證明，他的幾乎所有的有關(guān)點(diǎn)子數(shù)的命題，都是由有限個(gè)特殊情況而作出一般的結(jié)論，但這種推理只是簡(jiǎn)單的枚舉而沒(méi)有碰到矛盾事實(shí)的歸納結(jié)果，因此是不完全的歸納推?！皵?shù)學(xué)歸納法”名稱則是由英國(guó)數(shù)學(xué)家創(chuàng)立, 并由英國(guó)教科書作者普遍采用而推廣[4]。 歸納法 歸納法是由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納推理。在問(wèn)題探索中，為了尋求一般規(guī)律，往往先考察一些特例，通過(guò)對(duì)這些特例的不完全歸納形成猜想，然后再試圖去證明或否定這種猜想。完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。 數(shù)學(xué)歸納法的基本原理 在了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理前，我們不妨先來(lái)回想一下小時(shí)候?qū)φ麛?shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，首先，父母叫我們數(shù),后來(lái)數(shù),有必有，每一個(gè)正整數(shù)后面都有一個(gè)正整數(shù)，于是我們說(shuō)：會(huì)數(shù)數(shù)了。 其中的性質(zhì)(5)是數(shù)學(xué)歸納法的根據(jù)，有了這一原理，就有了數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，如果： (1)命題當(dāng)時(shí)正確，即正確 (2)在假設(shè)正確的前提下，可以證明命題也正確，那么命題對(duì)任意正整數(shù)都是正確的。應(yīng)用歸納法，如果,它本身就是自然數(shù)里的最小的數(shù)，如果這集合里沒(méi)有小于的自然數(shù)存在，那么就是最小的，也不必討論了，如果有一個(gè),那么由數(shù)學(xué)歸納法的假設(shè)知道集合里不大于的自然數(shù)一定有一個(gè)最小的數(shù)存在，這個(gè)數(shù)也就是原集合里最小的數(shù)，即得證。 從袋子里摸球問(wèn)題 如果袋子里的東西是有限的，總可以把它摸完而得出一個(gè)確定的結(jié)論，但是，當(dāng)東西是無(wú)窮的，怎么辦？如果有這樣一個(gè)論證：“當(dāng)你這一次摸出紅玻璃球的時(shí)候，下一次摸出的，也一定是紅玻璃球”，那么，在這樣的保證下，只要第一次摸出的確定是紅玻璃球，就可以不再檢查地作出正確的結(jié)論：“袋里的東西，全部是紅玻璃球”。這是第一數(shù)學(xué)歸納法的“變著”，也叫做跳躍數(shù)學(xué)歸納法。這種屬于第二數(shù)學(xué)歸納法的“變著”。(3)設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若對(duì)無(wú)限多個(gè)自然數(shù)成立；假設(shè)成立可推出成立，則命題一切自然數(shù)都成立。 對(duì)任意正自然數(shù)，有。并且用的假設(shè)命題去推的必要性。 這個(gè)命題顯然是荒謬的，但是如果我們丟開“當(dāng)?shù)臅r(shí)候，這個(gè)命題是正確的”不管，那么可以用“數(shù)學(xué)歸納法”來(lái)“證明”它。 這也就是說(shuō)，即使我們?cè)嚵舜?，式子的值都是素?cái)?shù)，我們?nèi)耘f不能斷定這個(gè)命題一般的正確性。反之，如果只有歸納步驟而無(wú)奠基步驟，那么歸納步驟的假設(shè)就失去了依據(jù)，從而使歸納法步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結(jié)果也是建立在不可靠的基礎(chǔ)上，所以仍然不能斷定原命題是否正確。4 數(shù)學(xué)歸納法的典型應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種極為有效的方法，它在證明中的應(yīng)用是十分廣泛的。 由(1)(2)知，等式對(duì)任何都成立。 ①當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。 綜合①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)，是有理數(shù)。對(duì)于有下面的公式： 定理1 現(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明它。只有如此，才能更充分地體現(xiàn)非嚴(yán)格不等式成立。 求證： 證明：（1）當(dāng)時(shí)，不等式成立。 根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)任何都成立。解：取，令，得，而， 所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 1）時(shí)，已證結(jié)論正確。 4．3 證明整除問(wèn)題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題，是數(shù)學(xué)歸納法的重要應(yīng)用之一。 2) 假設(shè)時(shí)，能被整除。數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但是運(yùn)用它只能證明命題的正確性，而不能指望由它發(fā)現(xiàn)命題。證明：1）當(dāng)時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩部分，命題成立。當(dāng)然，任何一個(gè)n 階行列式都可以由它的定義去計(jì)算其值。（2）假設(shè)等式對(duì)階范得蒙行列式成立，即對(duì)n 階范得蒙行列式： 按第一列展開并提取公因子，得后面的行列式是一個(gè)階范得蒙行列式，由歸納假設(shè)可寫作，代入上式便得.由（1）、（2）可知，對(duì)所有的，命題成立。在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，再考察它是否能用常用的幾種方法，如果行列式與矩陣中有與自然數(shù)有關(guān)，我們可考慮用數(shù)學(xué)歸納法去證明，再利用它們的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換，然后求解。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理可知，當(dāng)是任意正整數(shù)時(shí)，等式都成立。切莫以為歸納奠定這一步就是“當(dāng)時(shí)命題正確”這么一句話，似乎無(wú)關(guān)緊要，可有可無(wú)。 弄不清從變化到命題發(fā)生變化時(shí)到底增加了幾項(xiàng) 求證：（n為自然數(shù)）。6 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法