初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題輔導(dǎo)勾股定理與應(yīng)用-wenkub
2023-04-19 03:49:31 本頁(yè)面
【正文】 AG2+FG2=2FG2． ② 由①，②得AB2=2FG2． 說(shuō)明 事實(shí)上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應(yīng)使我們意識(shí)到兩個(gè)直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過(guò)渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個(gè)直角三角形中，可以利用勾股定理進(jìn)行證明了． 例2 如圖222所示．AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)． 證 過(guò)A引AD⊥BC于D(不妨設(shè)D落在邊BC內(nèi))．由廣勾股定理，在△ABM中， AB2=AM2+BM2+2BM； (2)若c2＜a2+b2，則∠C＜90176。CD =AC2+BC2+2BC 因此，AGHB為邊長(zhǎng)是c的正方形．顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個(gè)全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面積和，即 化簡(jiǎn)得 a2+b2=c2． 證法3 如圖218．在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長(zhǎng)CB，自E作EG⊥CB延長(zhǎng)線于G，自D作DK⊥CB延長(zhǎng)線于K，又作AF， DH分別垂直EG于F，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB． 設(shè)五邊形ACKDE的面積為S，一方面 S=SABDE+2S△ABC， ① 另一方面 S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ② 由①，② 所以 c2=a2+b2． 關(guān)于勾股定理，在我國(guó)古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習(xí)題中展示其中一小部分，它們都以中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的名字命名． 利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論． 定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對(duì)的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長(zhǎng)線)上的射影的乘積的2倍． 證 (1)設(shè)角C為銳角，如圖219所示．作AD⊥BC于D，
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