微積分在物理學(xué)上應(yīng)用-wenkub
2023-04-19 02:24:31 本頁面
【正文】 選取的微元要可以疊加演算，因此，選取的微元要具備可加性；，為了保證我們所選取的微元能夠在疊加區(qū)域可以不遺漏，不重復(fù)的疊加，我們就需要注意按照量的某種序來選取微元；，疊加演算實際上就是一種復(fù)雜的“加權(quán)疊加”。例：如圖所示，一通有交流電流i=I0sinωt的長直導(dǎo)線旁有一共面的單匝矩形線圈ABCD，試求線圈中的感應(yīng)電動勢大小。在運用微積分去解決物理問題時，可以將我們所需要得出的結(jié)果看成是一個整體，再將這個整體先微分，即將其分成足夠小的個體，我們可以將這個個體的變量看成衡量，得出個體結(jié)果后，再將其積分，即把個體的結(jié)果累積起來進(jìn)行求和。只要這些局部問題分的足夠小，足以使用簡單，可研究的方法來解決，再把這些局部問題的結(jié)果整合起來啊，就可以得到問題的結(jié)果。微積分在物理學(xué)上的應(yīng)用1 引言 微積分是數(shù)學(xué)的一個基本學(xué)科，內(nèi)容包括微分學(xué)，積分學(xué)，極限及其應(yīng)用，其中微分學(xué)包括導(dǎo)數(shù)的運算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符號來進(jìn)行討論。而這種將問題無限的分割下去，局部問題無限的小下去的方法，即稱為微分，而把這些無限個微分元中的結(jié)果進(jìn)行求和的方法，即是積分。例如，在我們研究勻變速直線運動時，我們就可以在其運動過程中選取一個微小的時間dt，而這一時間內(nèi)的位移為dt，在每一段時間內(nèi)速度的變化量非常小，可以近似忽略，那么我們就可以將這段時間內(nèi)的運動近似看成勻速直線運動，再把每段時間內(nèi)的位移相加，無限求和，就可以得出總的位移。解：設(shè)在某個時刻，長直導(dǎo)線電流產(chǎn)生的磁場為 B=μ0i2πx 在圖中做一個微元面dS,dS=ldx,則該面元上的磁場可以近似于均勻磁場，微元面dS上的磁通量為 d?m=BdS=μ0i2πxldx線圈圍成的面上通過的磁通量為 ?m=d?m=μ0il2πl(wèi)nba線圈中的感應(yīng)電動勢為 ε=d?mdt=μ0I0lω2πl(wèi)nbacosωt 在這個例題中，微元面dS的磁通量與線圈的感應(yīng)電動勢都有d?m，但他們的物理含義卻是不一樣的，前者的d?m表示微元面 dS上的磁通量，是一個微小量，而后者的d?m表示的是微笑時間內(nèi)的磁通量變化量，是一個微小變化量。對于一般的“權(quán)函數(shù)”而言，疊加演算，也就是求定積分是十分復(fù)雜的，但如果“權(quán)函數(shù)”具備了“平權(quán)性”特征（在定義域內(nèi)的值處處相等），原本復(fù)雜的題目就會化成簡單的形式更有利于我們?nèi)ソ鉀Q問題。以上步驟都是在遵從題意的基礎(chǔ)下進(jìn)行，進(jìn)行微分分析的結(jié)果一般是一個微分方程，在求解時要注意初始條件，在積分時，更要注意取上下限時，要滿足邊界條件。就比如說當(dāng)我們對函數(shù)中的t進(jìn)行求一階導(dǎo)數(shù)時，我們就可以得到該函數(shù)所表示的質(zhì)點的加速度函數(shù)。因此，將方程中的t進(jìn)行一階及二階求導(dǎo)，就可以得出瞬時速度和瞬時加速度隨著一些空間變量的變化規(guī)律。例2：如圖所示，一半徑為r的空心管放在豎直的平面內(nèi)，管內(nèi)有一鏈條，它的線密度為ρ。 微積分在靜電場方面的應(yīng)用設(shè)真空中的電荷為q，P點位于空間一點，r為從q到P點的矢徑。
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