大變形問題的基本方程-wenkub
2023-04-09 12:50:01 本頁面
【正文】 非線性有限元 第五章 大變形問題的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）第五章 大變形問題的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）167。研究方法：把連續(xù)的的變形過程分為若干個(gè)增量步，在每個(gè)增量步內(nèi)建立它的增量運(yùn)動(dòng)方程——即變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。選擇兩個(gè)固定坐標(biāo)系,以t時(shí)刻物體構(gòu)形作為參考構(gòu)形的坐標(biāo)系ai, 以時(shí)刻物體構(gòu)形作為參考構(gòu)形的坐標(biāo)系xi研究（）具有普遍意義時(shí)刻 ； 時(shí)刻 △t增量步內(nèi)，P的變形 （1）研究時(shí)間步內(nèi)物體內(nèi)一點(diǎn)P的變形。由兩桿三鉸結(jié)構(gòu)，且三鉸位于同一條直線上。當(dāng)鉸2有了一定的微小法向位移之后，桿中的軸力，有一部分可以抵抗外力P，而平衡與變形有關(guān)。角速度為，時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)量為。關(guān)于相對(duì)位移張量和不對(duì)稱性在坐標(biāo)系下，表示位移，則，其中稱相對(duì)位移張量，即相對(duì)位移張量是非對(duì)稱張量，因?yàn)?。這樣可以將相對(duì)位移張量分解成對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分 (3)其中為對(duì)稱部分稱為應(yīng)變張量；為非對(duì)稱部分稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)分量表示同理 (3)’為了求，將（2）代入（5） (8)上面的展開推導(dǎo)過程中，采用了張量運(yùn)算法則：1) 當(dāng)時(shí)，2)3)同理，將 (2)’ 代入 (5)’ (8)’將 (8) 和 (8)’ 代入 (5) 和 (5)’，得 (9) (9)’統(tǒng)一表示為： (10)(10) 式恰好反映了增量步內(nèi)，線素（P點(diǎn)）的應(yīng)變量，是以時(shí)刻的物體構(gòu)形為參考構(gòu)形建立的坐標(biāo)系來描述的，而是以+時(shí)的坐標(biāo)描述的。和退化為通常的線性應(yīng)變。由于上面應(yīng)變是定義在不同構(gòu)形所相應(yīng)的參考坐標(biāo)系下，所以應(yīng)力在不同坐標(biāo)系下也有多種應(yīng)力表示。將ds上的力dPi,轉(zhuǎn)向初始位形相應(yīng)的微面積dso上，而在轉(zhuǎn)換過程中保持力的大小和方向不變。則 () (16)其中 在初始構(gòu)形的微面積上，定義應(yīng)力sij稱為Kirchhoff應(yīng)力 (17)附：關(guān)于方向余弦lij張量定義 ； 是不對(duì)稱張量。Sij為Kirchhoff應(yīng)力是對(duì)稱的，因?yàn)榱κ峭ㄟ^向量轉(zhuǎn)換過來的。即在當(dāng)前構(gòu)形的坐標(biāo)系下，采用Euler和Almansi應(yīng)變?cè)谙鄬?duì)（參考）構(gòu)形 采用Lagrangion應(yīng)力和Green應(yīng)或采用Kirchhoff應(yīng)力和Green應(yīng)變?cè)O(shè)變形體在無熱交換的保守系統(tǒng)中，物
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