線性代數(shù)第3章習(xí)題解答(rr)-wenkub
2023-04-09 07:09:06 本頁(yè)面
【正文】 3) 如果向量組 不能由其余向量線性表出.解： 正確。例如：向量組線性相關(guān)，但不能由線性表示。(6) 若向量線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)，則線性相關(guān). 解：正確。(4) 解： 設(shè) ，對(duì)該方程組的增廣矩陣作初等變換得到：5. 證明： 如果n維單位坐標(biāo)向量組可由n維向量組線性表示，則向量組線性相關(guān)。(1) 解：以為列向量作矩陣作初等行變換得到：顯然(2) 解：令 對(duì)A作初等行變換，得到： 故 R(A)=R(B)=3. 線性相關(guān)。(1) 解： 令對(duì)A作初等行變換，得到：∴ R(A)=R(B)=2 , 向量組的秩為2, 是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。(3) 當(dāng)時(shí)，設(shè)有常數(shù)，使 線性無(wú)關(guān)， 10. 設(shè) 證： (i) 若線性無(wú)關(guān)，設(shè)有常數(shù) 因線性無(wú)關(guān)， 因方程組一定有非零 解，線性相關(guān)。 證：必要性：若向量組線性無(wú)關(guān)，則對(duì)任一n維向量，向量組 線性相關(guān)，故一定可由 線性表示。 14. 設(shè)是互不相同的r個(gè)非零實(shí)數(shù)，證明：(1) 向量組 線性無(wú)關(guān).(2) 任一r維向量都可由線性表示.證： 令則A的前r行元素組成的r階子式 故R(A)=r,線性無(wú)關(guān). (2) 對(duì)任一r維向量，可由線性表示.15. 設(shè)A為n階方陣，為n維列向量，(1) 證明： 若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；(2) 問：若線性無(wú)關(guān)，是否也線性無(wú)關(guān)，為什么 ？。16. 試證： 設(shè)A是n階方陣，則 證： (i) 若R(A)=n，則，由 ，得到 ， ，. (ii) 如果R(A)=n1，則A的列向量組線性相關(guān)，其中必有一列向量是組中其余向量的線性組合，不妨設(shè)：據(jù)行列式的性質(zhì)可知，A的第2列至第n列元素的代數(shù)余子式全為0，R(A) =n1，∴ 的第1行元素不全為零，而第2行至第n行元素全為0，(iii) 若 R(A)n1，則A的n1階子式全為零，(17) 設(shè)有線性方程組： 若，問：(1) 系數(shù)矩陣A秩是多少？ (2) 增廣矩陣的秩是多少？(3) 方程組是否有解，有多少解？(4) 方程組的導(dǎo)出組是否有基礎(chǔ)解系？基礎(chǔ)解系中含有多少個(gè)解向量？解： (1) R(A)=2
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