點差法求解中點弦問題-wenkub
2023-04-09 05:46:04 本頁面
【正文】 明理由．[分析] 易判斷出點B(1,1)在雙曲線的外部，不妨假定符合題意的弦存在，那么弦的兩個端點應分別在雙曲線的左右兩支上，其所在直線的傾角也不可能是90176?！径ɡ?】在橢圓（＞＞0）中，若直線與橢圓相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則. 證明：設(shè)M、N兩點的坐標分別為、則有 ，得又【定理2】在雙曲線（＞0，＞0）中，若直線與雙曲線相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則.證明：設(shè)M、N兩點的坐標分別為、則有，得又【定理3】 在拋物線中，若直線與拋物線相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則.證明：設(shè)M、N兩點的坐標分別為、則有，得又..注意：能用這個公式的條件：（1）直線與拋物線有兩個不同的交點；（2）直線的斜率存在.一、橢圓過橢圓＋＝1內(nèi)一點P(2,1)作一條直線交橢圓于A、B兩點，使線段AB被P點平分，求此直線的方程．【解】 法一：如圖，設(shè)所求直線的方程為y－1＝k(x－2)，代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0， (*)又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則xx2是(*)方程的兩個根，∴x1＋x2＝.∵P為弦AB的中點，∴2＝＝.解得k＝－，∴所求直線的方程為x＋2y－4＝0.法二：設(shè)直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P為弦AB的中點，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又∵A、B在橢圓上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝，得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝＝－，即kAB＝－.∴所求直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.已知橢圓+=1，求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程．【解答】解：設(shè)P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．∵P為弦AB的中點，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y．則+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求軌跡方程為：x+y=0．（﹣＜x＜）∴點P的軌跡方程為：x+y=0（﹣＜x＜）；（2013秋?啟東市校級月考）中心在原點，焦點坐標為（0，177。.. . . ..點差法求解中點弦問題點差法就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點坐標的時候，利用直線和圓錐曲線的兩個交點，并把交點代入圓錐曲線的方程，并作差。5）的橢圓被直線3x﹣y﹣2=0截得的弦的中點的橫坐標為，則橢圓方程為 =1?。窘獯稹拷猓涸O(shè)橢圓=1（
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