極值點(diǎn)偏移問題的兩種常見解法之比較-wenkub
2023-04-09 04:36:36 本頁面
【正文】 令，則只須證：，只須證 設(shè)，則 所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即， 故綜上述，當(dāng)時， 例1 （2016年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ理科第21題）已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)． （Ⅰ）求的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)是的兩個零點(diǎn)，證明：．解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，得，只有一個零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時， 當(dāng)時，由得，由得，由得， 故，是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，所以 又，故在區(qū)間內(nèi)存在一個零點(diǎn)，即 由又，所以，在區(qū)間 存在唯一零點(diǎn)，即， 故時，存在兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，由得， 若，即時，故在上單調(diào)遞增，與題意不符 若，即時，易證故在上只有一 個零點(diǎn)，若，即時，易證 ，故在上只有一個零點(diǎn)綜上述，（Ⅱ）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明由（Ⅰ）知，且令，則因?yàn)椋?，所以，所以在?nèi)單調(diào)遞增所以，即，所以，所以，因?yàn)?，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即解法二、利用對數(shù)平均不等式證明由（Ⅰ）知，又 所以，當(dāng)時，且，故當(dāng)時，又因?yàn)? 即 所以 所以 所以 所以 ① 下面用反證法證明不等式
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