極值點偏移問題的兩種常見解法之比較-wenkub
2023-04-09 04:36:36 本頁面
【正文】 令，則只須證：，只須證 設，則 所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即， 故綜上述，當時， 例1 （2016年高考數(shù)學全國Ⅰ理科第21題）已知函數(shù)有兩個零點． （Ⅰ）求的取值范圍； （Ⅱ）設是的兩個零點，證明：．解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，當時，得，只有一個零點，不合題意；當時， 當時，由得，由得，由得， 故，是的極小值點，也是的最小值點，所以 又，故在區(qū)間內(nèi)存在一個零點，即 由又，所以，在區(qū)間 存在唯一零點，即， 故時，存在兩個零點；當時，由得， 若，即時，故在上單調(diào)遞增，與題意不符 若，即時，易證故在上只有一 個零點，若，即時，易證 ，故在上只有一個零點綜上述，（Ⅱ）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明由（Ⅰ）知，且令，則因為，所以，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞增所以，即，所以，所以，因為，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即解法二、利用對數(shù)平均不等式證明由（Ⅰ）知，又 所以，當時，且，故當時，又因為 即 所以 所以 所以 所以 ① 下面用反證法證明不等式
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