數(shù)論之同余問(wèn)題-wenkub
2023-04-09 03:09:51 本頁(yè)面
【正文】 ，12，9，10，以6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除所得的余數(shù)等于被13除所得的余數(shù)，即4，故除以13的余數(shù)為4；所以被13除所得的余數(shù)是．【鞏固】 (2008年奧數(shù)網(wǎng)杯)已知，問(wèn)：除以13所得的余數(shù)是多少？【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到；；； 根據(jù)這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律：20082008除以13余，200820082008除以13余，即200820082008是13的倍數(shù)．而除以3余1，所以除以13的余數(shù)與除以13的余數(shù)相同，為6.【鞏固】 除以41的余數(shù)是多少？【解析】 找規(guī)律：，……，所以77777是41的倍數(shù)，而，所以可以分成399段77777和1個(gè)7組成，那么它除以41的余數(shù)為7．【鞏固】 除以10所得的余數(shù)為多少？【解析】 求結(jié)果除以10的余數(shù)即求其個(gè)位數(shù)字．從1到2005這2005個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是10個(gè)一循環(huán)的，而對(duì)一個(gè)數(shù)的冪方的個(gè)位數(shù)，我們知道它總是4個(gè)一循環(huán)的，因此把所有加數(shù)的個(gè)位數(shù)按每20個(gè)(20是4和10的最小公倍數(shù))一組，則不同組中對(duì)應(yīng)的個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是一樣的．首先計(jì)算的個(gè)位數(shù)字，為的個(gè)位數(shù)字，為4，由于2005個(gè)加數(shù)共可分成100組另5個(gè)數(shù)，100組的個(gè)位數(shù)字和是的個(gè)位數(shù)即0，另外5個(gè)數(shù)為、它們和的個(gè)位數(shù)字是的個(gè)位數(shù) 3，所以原式的個(gè)位數(shù)字是3，即除以10的余數(shù)是3．【例 7】 求所有的質(zhì)數(shù)P，使得與也是質(zhì)數(shù)．【解析】 如果，則，都是質(zhì)數(shù)，所以5符合題意．如果P不等于5，那么P除以5的余數(shù)為3或者4，除以5的余數(shù)即等于、或者除以5的余數(shù)，即9或者16除以5的余數(shù)，只有1和4兩種情況．如果除以5的余數(shù)為1，那么除以5的余數(shù)等于除以5的余數(shù)，為0，即此時(shí)被5整除，而大于5，所以此時(shí)不是質(zhì)數(shù)；如果除以5的余數(shù)為4，同理可知不是質(zhì)數(shù)，所以P不等于5，與至少有一個(gè)不是質(zhì)數(shù)，所以只有滿足條件．因數(shù)89909192939495969798因數(shù)【鞏固】 在圖表的第二行中，恰好填上這十個(gè)數(shù)，使得每一豎列上下兩個(gè)因數(shù)的乘積除以11所得的余數(shù)都是3．【解析】 因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的乘積除以11的余數(shù)，等于兩個(gè)數(shù)分別除以11的余數(shù)之積．因此原題中的可以改換為，這樣上下兩數(shù)的乘積除以11余3就容易計(jì)算了．我們得到下面的結(jié)果：因數(shù)89909192939495969798因數(shù)37195621048進(jìn)而得到本題的答案是：因數(shù)89909192939495969798因數(shù)91958997939490989296【鞏固】 (2000年“華杯賽”試題)3個(gè)三位數(shù)乘積的算式 (其中)， 在校對(duì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是知道最后一位6是正確的，問(wèn)原式中的是多少？【解析】 由于，
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