平面幾何輔助線添加技法總結(jié)與例題詳解-wenkub
2023-04-09 01:21:41 本頁(yè)面
【正文】 于是,OK為PQ的中垂線,故QK＝KP. 所以,AK平分BC. 綜上,讓平行線在平面幾何證題中發(fā)揮應(yīng)有的作用.第二講 巧添輔助圓 在某些數(shù)學(xué)問(wèn)題中,巧妙添置輔助圓?？梢詼贤ㄖ本€形和圓的內(nèi)在聯(lián)系,.1 挖掘隱含的輔助圓解題 有些問(wèn)題的題設(shè)或圖形本身隱含著“點(diǎn)共圓”,此時(shí)若能把握問(wèn)題提供的信息,恰當(dāng)補(bǔ)出輔助圓,并合理挖掘圖形隱含的性質(zhì),就會(huì)使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系明朗化. 作出三角形的外接圓例1 如圖1,在△ABC中,AB＝AC,D是底邊BC上一點(diǎn),E是線段AD上一點(diǎn)且∠BED＝2∠CED＝∠：BD＝2CD.分析：關(guān)鍵是尋求∠BED＝2∠CED與結(jié)論的聯(lián)系.容易想到作∠BED的平分線,但因BE≠ED,故不能直接證出BD＝△ABC的外接圓于F,則可得EB＝EF,從而獲取.證明：如圖1,延長(zhǎng)AD與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)F,連結(jié)CF與BF,則∠BFA＝∠BCA＝∠ABC＝∠AFC,即∠BFD＝∠:CF＝BD:DC. 又∠BEF＝∠BAC,∠BFE＝∠BCA,從而∠FBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠BFE. 故EB＝EF. 作∠BEF的平分線交BF于G,則BG＝GF. 因∠GEF＝∠BEF＝∠CEF,∠GFE＝∠CFE,故△FEG≌△＝FC. 于是,BF＝＝2CD. 利用四點(diǎn)共圓例2 凸四邊形ABCD中,∠ABC＝60176。HB, AD2＝AE2＝AG.如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2,求證：AD2＝(AB2＋AC2).證明：如圖6,過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交ND. 由BD＝DC,可知ED＝△BED≌△CND. 于是,BE＝NC. 顯然, EM＝MN. 由BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2,可知△BEM為直角三角形,∠MBE＝90176。 第一講 注意添加平行線證題 在同一平面內(nèi),若能依據(jù)證題的需要,添加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€,則能使證明順暢、簡(jiǎn)潔. 添加平行線證題,一般有如下四種情況.1 為了改變角的位置 大家知道,兩條平行直線被第三條直線所截,同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等,?？赏ㄟ^(guò)添加平行線,將某些角的位置改變,以滿足求解的需要.例1 設(shè)P、Q為線段BC上兩點(diǎn),且BP＝CQ,A為BC外一動(dòng)點(diǎn)(如圖1).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使∠BAP＝∠CAQ時(shí),△ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論.答： 當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使∠BAP＝∠CAQ時(shí),△ABC為等腰三角形.證明：如圖1,分別過(guò)點(diǎn)P、B作AC、.在△DBP＝∠AQC中,顯然∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C.由BP＝CQ,可知 △DBP≌△AQC.有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC.于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.則A、D、B、P四點(diǎn)共圓,＝DP. 所以AB＝AC. 這里,通過(guò)作平行線,將∠QAC“平推”到∠、D、B、P四點(diǎn)共圓,使證明很順暢.例2 如圖2,四邊
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