關(guān)于函數(shù)恒成立問題的解題-wenkub
2023-04-08 07:56:47 本頁面
【正文】 的定義域?yàn)闀r(shí)，．例5．已知函數(shù)，在上恒成立，求的取值范圍．分析：的函數(shù)圖像都在軸及其上方，如右圖所示：略解：，．變式1：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．分析：要使時(shí)，恒成立，只需的最小值即可．解：，令在上的最小值為；①當(dāng)，即時(shí)，；，而，不存在；②當(dāng)，即時(shí)，；又，；③當(dāng)，即時(shí)，；又，；綜上所述，．變式2：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．2—2法一：分析：題目中要證明在上恒成立，若把2移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間時(shí)恒大于等于0的問題．略解：，即在上成立；①，；②；；變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解．運(yùn)用不等式的相關(guān)知識(shí)不難推出如下結(jié)論：若對(duì)于取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)都有：恒成立，則；若對(duì)于取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有：恒成立，則．例6．已知三個(gè)不等式：①，②，③．要使同時(shí)滿足①②的所有的值滿足③，求的取值范圍．略解：由①②得，要使同時(shí)滿足①②的所有的值滿足③，即不等式在上恒成立，即在上恒成立，又在上大于9；所以：．例7．函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，若對(duì)所有的都成立，求的取值范圍．解：據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，；又因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞增，所以；對(duì)所有的都成立；因此，只需大于或等于在上的最大值1，；又∵對(duì)所有的都成立，即關(guān)于的一次函數(shù)在上大于或等于0恒成立，即：．利用變量分離解決恒成立問題，主要是要把它轉(zhuǎn)化為函
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