三角形解題指導-wenkub
2023-04-08 05:44:53 本頁面
【正文】 上，且AD=AE=2．若點F從點B開始以每秒l個單位長的速度沿射線BC方向運動，設點F運動的時間為t秒,當t 0時，直線FD與過點A且平行于BC的直線相交于G，GE的延長線與BC的延長線相交于點H，AB與GH相交于點O． (1)設△EGA的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；(2)當t為何值時，AB⊥GH；圖5－21(3)請你證明△GFH的面積為定值；(4)當t為何值時，點F和點C為線段BH的三等分點．[分析] 本題考查學生綜合運用有關(guān)知識分析問題解決問題的能力．（1）要將△EGA的面積S用BF的長t表示出來，須先將這個三角形的一個邊及這邊上的高用t表示，那么究竟哪條邊可用t表示?這就需從已知條件分析了．首先看到△EGA中有與BF平行的邊GA，這就為我們應用相似三角形的有關(guān)知識創(chuàng)造了條件．（2）認真觀察圖形，從整體中找出易于推出AB⊥GH的部分圖形，如四邊形AGDE．（3）因為△GFH夾在兩平行線之間，所以它的高是定值，從而只要證明它的底FH是定值就行了．證明中，仍然需抓住題目中諸多的平行關(guān)系，充分利用相似三角形的有關(guān)知識．（4）由點F和點C為線段BH的三等分點出發(fā)，確定t的值．解答第(3)和(4)題時，務必注意F在射線BC上的不同位置所引起的變化．[解答]（1）∵GA∥BF，∴△ADG∽△BDF，．∵AB=6，AD=2，∴DB=4，又∵BF=t，∴．作EK⊥AG于K．∠BCA=60176?！唷鰽DE是等邊三角形，∴AB⊥GH．ABCFHDEG圖5－22 （3）∵△ADG∽△BDF，． ∴△AGE∽△CHE，∴． ①當點F與點C重合時，顯然BD=FH；②當點F在BC邊上時，BC=BF+FC=CH+FC=FH；當點F在BC的延長線上時(如圖5—12)，BC=BF—FC=CH—FC=FH． 綜上所述，底邊FH的長始終不變(等于BC的長)． ∵AG∥BH，∵△GFH的高始終不變(等于△ABC的高)． ∴△GFH的面積為定值． （4）當t=3或12時，點F和點C為線段BH三等分點．證明如下： ①當t =3時，BF=3BC=6，∴點F在BC邊上(如圖5—21)，顯然BC=FC=3． ②當t=12時，BF=12BC=6，∴點F在BC的延長線上(如圖5—22)，顯然BF=FC=6．∵BF=CH，∴t=3或12時都有BC=FC=FH，即點F和點C為線段BH的三等分點． [點評] 本試題是中考壓卷題，含有動點，又是多問，還需探索，面對這種試題多數(shù)學生會產(chǎn)生不小的心理壓力，這種壓力嚴重地阻礙了思路的形成．另外，還會有許多學生可能忽略點F在射線上運動，從而沒有進行必要的討論．另外,（1）本例第（2）和（4）小題屬于一類探索題，其設問形式通常是“當x…時，y成立”，它要求解答者探索使成立的．探索常用的方法為“逆推法”，即首先假設成立，將其作為已知去推求．如本例第（2）題的探索過程是：如圖5—21，假設AB⊥HG．由AD=AE，∠DAE=60176?！唷螦EK=30176。．求證CD=BE．證明：作EF∥CD交AB與點F，△AEF∽△ACD．∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF，∵CD⊥AB，EF⊥AB．在Rt△EFB中，∠EFB=90176。β=20176。－60176。然后確定分割方法．分割一個三角形有兩種方式：一種是用不經(jīng)過三角形頂點的直線去分割，另一種所用的直線經(jīng)過三角形的頂點．由于前一種分割將三角形分成了一個三角形和—個四邊形，它不符合題意，因而分割方式只能是后一種．當過三角形一個角的頂點作直線進行分割時，其他兩個角的度數(shù)不變．例如，過∠B的直線將該角分成α和β兩個角(如圖5—
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