【正文】 參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有198種。3612=216，所以其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有216種。從4個女同學(xué)中選出2人，有=6種選法。【例 10】 一臺晚會上有個演唱節(jié)目和個舞蹈節(jié)目．求：⑴ 當個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？⑵ 當要求每個舞蹈節(jié)目之間至少安排個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？【解析】 ⑴ 先將個舞蹈節(jié)目看成個節(jié)目，與個演唱節(jié)目一起排，則是個元素全排列的問題，有 (種)方法．第二步再排個舞蹈節(jié)目，也就是個舞蹈節(jié) 目全排列的問題，有(種)方法．根據(jù)乘法原理，一共有(種)方法．⑵ 首先將個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)，是個元素全排列的問題，一共有(種)方法．□□□□□□第二步，再將個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或個演唱節(jié)目之間(即上圖中“”的位置)，這相當于從個“”中選個來排，一共有(種)方法．根據(jù)乘法原理，一共有(種)方法。如果貝貝和妮妮不相鄰，共有（ ）種不同的排法。所以最少還能排出721=71個能被11整除的六位數(shù)。從8時到9時這段時間里，此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有1260個。由加法原理，可以組成(個)不同的五位數(shù)?！窘馕觥?（1）（種）。 二. 乘法原理：如果完成某項任務(wù)，可分為k個步驟，完成第一步有n1種不同的方法，完成第二步有n2種不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ種不同的方法，那么完成此項任務(wù)共有ｎ１ｎ２……ｎｋ種不同的方法。 排列組合問題 教學(xué)目標：、組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；、排列數(shù)和組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列或組合；；、分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對排列組合的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，重點掌握排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些排列組合技巧，如捆綁法、擋板法等。三. 兩個原理的區(qū)別n 做一件事，完成它若有n類辦法，是分類問題，每一類中的方法都是獨立的，故用加法原理。（2）只需排其余6個人站剩下的6個位置．（種）.（3）先確定中間的位置站誰，冉排剩下的6個位置．2=1440(種)．（4）先排兩邊，再排剩下的5個位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置． (種)．（5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個人中選2人，再排剩下的5個人，（種）.（6）七個人排成一排時，7個位置就是各不相同的．現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個人，7個位置還是各不相同的，所以本題實質(zhì)就是7個元素的全排列．（種）.（7）可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可．432=2880(種)．排隊問題，一般先考慮特殊情況再去全排列。【鞏固】 用0到9十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個數(shù)？【解析】 從高位到低位逐層分類： ⑴ 千位上排，或時，千位有種選擇，而百、十、個位可以從中除千位已確定的數(shù)字之外的個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復(fù)，也就是從個元素中取個的排列問題，所以百、十、個位可有(種)排列方式．由乘法原理，有(個)．⑵ 千位上排，百位上排時，千位有種選擇，百位有種選擇，十、個位可以從剩下的八個數(shù)字中選擇．也就是從個元素中取個的排列問題，即，由乘法原理，有(個)．⑶ 千位上排，百位上排，十位上排，時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇，有(個)．⑷ 千位上排，百位上排，十位上排時，比小的數(shù)的個位可以選擇，共個．綜上所述，比小的四位數(shù)有(個)，故比小是第個四位數(shù)．【例 3】 用、這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個3的倍數(shù)？【解析】 按位數(shù)來分類考慮：⑴ 一位數(shù)只有個；⑵ 兩位數(shù)：由與，與，與，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的兩位數(shù)，共可組成(個)不同的兩位數(shù)；⑶ 三位數(shù)：由，與；，與；，與；，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的三位數(shù)，共可組成(個)不同的三位數(shù)；⑷ 四位數(shù)：可由，這四個數(shù)字組成，有(個)不同的四位數(shù)；⑸ 五位數(shù)：可由，組成，共有(個)不同的五位數(shù)．由加法原理，一共有(個)能被整除的數(shù)，即的倍數(shù)．【鞏固】 用6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？【解析】 由于組成偶數(shù)，個位上的數(shù)應(yīng)從，中選一張，有種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的張中選二張，有(種)選法．由乘法原理，一共可以組成(個)不同的偶數(shù)．【例 4】 某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是，那么確保打開保險柜至少要試幾次？【解析】 四個非數(shù)碼之和等于9的組合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六種?！纠?7】 一個六位數(shù)能被11整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的．將這個六位數(shù)的6個數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個能被11整除的六位數(shù)?【解析】 設(shè)這個六位數(shù)為，則有、的差為0或11的倍數(shù)．且a、b、c、d、e、f均不為0，任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù)。【例 8】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】 這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對問題進行轉(zhuǎn)化．仔細審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價于人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因為乙的限制最多，所以先排乙，有種排法，再排甲，也有種排法，剩下的人隨意排，有(種)排法．由乘法原理，一共有(種)不同的排法?！窘馕觥?五位同學(xué)的排列方式共有54321=120（種）。【鞏固】 由個不同的獨唱節(jié)目和個不同的合唱節(jié)目組成一臺晚會，要求任意兩個合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個節(jié)目必須是合唱，則這臺晚會節(jié)目的編排方法共有多少種？【解析】 先排獨唱節(jié)目，四個節(jié)目隨意排，是個元素全排列的問題，有種排法；其次在獨唱節(jié)目的首尾排合唱節(jié)目，有三個節(jié)目，兩個位置，也就是從三個節(jié)目選兩個進行排列的問題，有(種)排法；再在獨唱節(jié)目之間的個位置中排一個合唱節(jié)目，有種排法．由乘法原理，一共有(種)不同的編排方法．【小結(jié)】排列中，我們可以先排條件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本題中，獨唱節(jié)目排好之后，合唱節(jié)目就可以采取“插空”的方法來確定排法了．總的排列數(shù)用乘法原理．把若干個排列數(shù)相乘，得出最后的答案。在四個人確定的情況下，參加四個不同的小組有4321=24種選法。（3）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時的選法，此時的問題相當于從