【正文】 j tx t e X j e d?? ? ? ??????? ? ??11( ) ( ) ( )22t j t s tx t X j e e d X s e d??? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???9. 3 拉普拉斯反變換 24 當(dāng) 從 時(shí) , 從 ? s?? ? ?? jj??? ? ? ? ?由 sj???? d s jd??得 拉氏反變換表明 : 可以被分解成復(fù)振幅為 的復(fù)指數(shù)信號 的線性組合。 3. 雙邊信號的 ROC可以是任意兩相鄰極點(diǎn)之間的 帶狀區(qū)域 。 20 當(dāng) 時(shí)，上述 ROC有公共部分， 0b?11()Xss b s b????R e [ ]b s b? ? ?當(dāng) 時(shí)，上述 ROC 無公共部分，表明 不存在。 若 是右邊信號 , , 在 ROC內(nèi) ， 則有 絕對可積，即： 0?0() tx t e ??()xt Tt? ? ?17 5. 左邊信號的 ROC是 S平面內(nèi)的一條平行于 軸的直線的左邊。 2. 在 ROC內(nèi)無任何極點(diǎn)。 將 的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在 S 平面上就構(gòu)成了 零極點(diǎn)圖 。 4. 只有拉氏變換表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號建立一一對應(yīng)的關(guān)系 。 10 由以上例子，可以看出 : 1. 拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。 ()xt sj????若 ， 則有 : 0? ? sj??( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ? 這就是 的傅里葉變換。 將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。 傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)中的特例，即以 和 為基底分解信號的。對于更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù) 和 ，也理應(yīng)能以此為基底對信號進(jìn)行分解。 5 拉普拉斯變換 復(fù)指數(shù)信號 是一切 LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 ()xt表明： 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在 或是在 軸上的特例。 拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。 并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是 S 平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。 5. 如果拉氏變換的 ROC包含 軸 ，則有 j?( ) ( ) sjX j X s ?? ??12 二 . 拉氏變換的 ROC及零極點(diǎn)圖： 2( ) ( ) ( )ttx t e u t e u t????例 3. 200()t st t stX s e e d t e e d t??? ? ? ?????1( ) ,1te u ts? ??R e [ ] 1s ??2 1( ) ,2te u ts? ??R e [ ] 2s ??1? ??j2? ??j13 可見： 拉氏變換的收斂域是各個(gè)收斂域的公共部分。零極點(diǎn)圖及其收斂域可以表示一個(gè) ，最多與真實(shí)的 相差一個(gè)常數(shù)因子 。 3. 時(shí)限信號的 ROC是整個(gè) S 平面。 j? 若 是左邊信號，定義于 , 在 ROC 內(nèi)， ，則 10???0?()xt ?(,T??0 1 01 ()( ) ( )TT tttx t e d t x t e e d t? ? ?? ? ? ??? ? ? ????1 0 0() ()TTte x t e dt? ? ?? ? ???? ? ??1?表明 也在收斂域內(nèi)。 0b? ()Xs1( ) ,bte u tsb? ? ? ?R e [ ]sb??1( ) ,bte u tsb? ?? R e [ ]sb??b? ??jb21 當(dāng) 是有理函數(shù)時(shí)，其 ROC總是由 的極點(diǎn)分割的。 ()Xs()Xs ()Xs()Xs22 例 3. 21()321112Xsssss???????可以形成三種 ROC： 1) ROC： 此時(shí) 是右邊信號。 ()xt 1 ()2 X s dsj?ste1( ) ( )2j stjx t X s e d sj ????????? ?的反變換 ()Xs25 二 .拉氏反變換的求法 : 對有理函數(shù)形式的 求反變換一般有兩種方法 ,即 部分分式展開法 和 留數(shù)法 。 ()Xs()Xs? 部分分式展開法： 26 1 , 2ss? ? ? ?極點(diǎn)： 確定其可能的收斂域及所對應(yīng)信號的屬性。 ()Xs() stX s e() stX s e()xt()xt? 留數(shù)法（當(dāng) 是有理函數(shù)時(shí)）： ()Xs29 例 3. ? ? ? ?1()12Xs ss? ??: R e [R O C ]2s ??21( ) R e s [ ( ) , ]st iix t X s e s??? ?12211()21( ) ( )s t s tsstteesse e u t? ? ? ???? ? ???? ? ? ?()Xs 的極點(diǎn) 均位于 ROC右邊 1 , 2 ,ss? ? ? ?30 Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the PoleZero Plot ? 可以用零極點(diǎn)圖表示 的特征 。 ()Xsj? sj??()Xj?()Xj? 由零極點(diǎn)圖對傅里葉變換幾何求值 ()Xs31 ()X s s a?? 零點(diǎn) , 要求出 時(shí)的 ，可以作兩個(gè)矢量 和 ，則 。所有零點(diǎn)矢量的長度之積除以所有極點(diǎn)矢量的長度之積即為 。 1s1sj?j?()Xj?35 例 1. 一階系統(tǒng)： 1( ) ( ) ,th t e u t????1/( ) ,( 1 / )Hs s??? ?1R e [ ]s???() ( ) ( )d y t y t x tdt? ?? 隨著 ， 單調(diào)下降， ?? ()Hj?1???時(shí) ,下降到最大值的 12最大值在 時(shí)取得。 起主要作用。 1? ? n??40 3. 進(jìn)一步減小，則二階 極點(diǎn)分裂為 共軛復(fù)數(shù) 極點(diǎn)， 且隨 的減小而逐步靠近 軸。其峰點(diǎn)位于 處， 1/ 2? ?()Hj? 212n???41 m a x 21()21Hj ?????峰值為 在 時(shí)，若認(rèn)為 主極點(diǎn)矢量 增長 倍時(shí)，對應(yīng)的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻率，則可以近似確定此時(shí)的系統(tǒng)帶寬約為 。 j?43 例 3. 全通系統(tǒng)： 考查零極點(diǎn)對稱分布的系統(tǒng) () saHs sa?? ?（一階全通 ） ? 該系統(tǒng)的 在任何時(shí)候都等于 1，所以 稱為 全通系統(tǒng) 。 j?j? j?46 顯然這兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性是相同的。 j?47 當(dāng)工程應(yīng)用中要求實(shí)現(xiàn)一個(gè)非最小相位系統(tǒng)時(shí)，通常采用將一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)級聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。這里只著重于 ROC的討論。 ( ) ( ) ,x t X s? ? ? R O C : R?特例 5. 共軛對稱（ Conjugation）性： ( ) ( ) ,x t X s? ? ?? R O C : R( ) ( ) ,x t X s? R O C : R若 則 55 ( ) ( )X s X s???? 如果 是實(shí)信號，且 在 有極點(diǎn)（或零點(diǎn)），則 一定在 也有極點(diǎn)或零點(diǎn)。 2()Xs1()Xs7. 時(shí)域微分 :（ Differentiation in the Time Domain） () ( ) ,d x t s X sdt ?( ) ( ) ,x t X s? R O C : RROC包括 R ,有可能擴(kuò)大。表明： ()Xs 0s?()xt()sX s j?0() ( 0 ) ( )std x t e d t x sX sdt?? ??? ? ? ?? 當(dāng) 時(shí)， 0s?00() ( ) l im ( ) ( 0 )sttd x t e d t d x t x t xdt???? ????? ? ???0l i m ( ) l i m ( )tsx t s X s? ? ???Page498：例 64 極點(diǎn)在 S平面的分布與終值的關(guān)系 65 Some Laplace Transform Pairs S1()ate u t? as ?1()nt u t 1!?nsn)(t? 1)( 0tt ?? 0ste? 常用拉氏變換對 ()ut66 Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform 一 . 系統(tǒng)函數(shù)的概念： 以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立 LTI系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即 ( ) ( ) ( )Y s X s H s?? 其中 是 的拉氏變換，稱為 系統(tǒng)函數(shù)或 轉(zhuǎn)移函數(shù) 。當(dāng)以 為基底分解信號時(shí)， LTI系統(tǒng) 對輸入信號的響應(yīng)就是 jte ?()Xs68 連同相應(yīng)的 ROC也能完全描述一個(gè) LTI系統(tǒng)。 0t? ( ) 0ht ?69 如果 時(shí) ，則 系統(tǒng)是反因果的 。 ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊并不一定系統(tǒng)因果。 ()h t d t??? ???()Hs()Hj?j?()Hs只有 當(dāng) 是有理函數(shù)時(shí)，逆命題才成立。 ROC包括 軸 j? ? 系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。 j?而對系統(tǒng) ( ) ,1seHs s?? ? R e [ ] 1s ?? 仍是非有理函數(shù)， ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊， 但由于 ，系統(tǒng)是因果的。 2. 如果 LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC必然包括 軸。 ()Hs j?1）如果已知 LCCDE描述的系統(tǒng)是因果的，則 的 ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊。 因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的三種情況 : 0)]([lim ???tht79 極點(diǎn)在 S平面的分布與終值的關(guān)系 80 對于三階以上的高階 因果 系統(tǒng)，求解系統(tǒng)的極點(diǎn)比較繁瑣。 若 A(s)=0的根全部在左半平面 ， 則 A(s)稱為霍爾維茲多項(xiàng)式 。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則 ， 稱為 羅斯 霍爾維茲準(zhǔn)則 (RH準(zhǔn)則 )。羅斯陣列共有 n+1行 (以后各行均為零 )， 第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計(jì)算： 84 羅斯判據(jù) (羅斯準(zhǔn)則 ) 指出：多項(xiàng)式 A(s)是霍爾維茲多項(xiàng)式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值 。 85 綜上所述 ， 根據(jù) H(s)判斷線性連續(xù)系統(tǒng)的方法是：首先 ， 根據(jù)霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件檢查 A(s)的系數(shù) ai(i=0, 1, 2, … , n)。 87 解 H1(s)的分母多項(xiàng)式的系數(shù) a1=0， H2(s)分母多項(xiàng)式的系數(shù)符號不完全相同 ， 所以 H1(s)和 H2(s)對應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng) 。 圖中 ，H1(s)為 圖 )10)(1()(1 ??? sssKsHK取何值時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。 解：構(gòu)成羅斯陣列，則有 1 2 3 1 2 0 (0 3 0) 此行首列為 0