【正文】 }A A B x x A x B? ? ? ?與 B 的 差 事 件 且? B = , B,=, A A S A B SA A A BAAA A ABA? ?? ????????? ???逆 事 件 互 逆的 記 、為 對 立此 時, 若 ,: 稱有 ? AB A B A B A B B A A B? ? ? ? ? ?則 與 的 差 事 件 可 以 表 示 為 AS A13 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12111211nni i niinni i niiA B B AA B B AA B C A B CA B C A B CA B C A B A CA B C A B A CA B A BA B A BA A A A AA A A A A???????????????交 換 律 ：結(jié) 合 律 ：分 配 律 ：對 偶 律 ：對 偶 律 推 廣 ： ；＝ ； 事件的運算 14 AB?AB?A B AB??A B AB??例：設(shè) A={ 甲來聽課 }， B={ 乙來聽課 } ，則： {甲、乙至少有一人來 } {甲、乙都來 } {甲、乙都不來 } {甲、乙至少有一人不來 } ={甲、乙中最多有一人來 } 15 實 際 上 兩 者 有 關(guān) 系 ：? ? ? ??A B C A B C? ? ?可 以 用 韋 恩 圖 作 驗 證 事 件 等 式 是 否 成 立 ， 如AB AB另 外 ， 也 要 注 意 與 的 區(qū) 別 ：AB 是 表 示A B 是 表 示AB、 不 同 時 發(fā) 生AB、 都 不 發(fā) 生AA B B A B A B?A BC? ?ABA BC? ?A B C?A BC? ?BC?A BC? ?A B C?? ?? ? ? ?A B C A C A B C? ? ?根 據(jù) 以 上 圖 示 ， 我 們 容 易 得 到16 A CB 或A B C例 ： 用 、 、 三 個 事 件 關(guān) 系 及 運 算 表 示 下 列 各 事 件A B C? 發(fā) 生 ， 、 都 不 發(fā) 生 :? ?A BC?至 少 有 一 個 發(fā) 生 :AB AC BC 或A B C A B C A B C A BC A B C AB C ABC? 恰 有 一 個 發(fā) 生 : A B C AB C A BC? 至 少 有 兩 個 發(fā) 生 :A BC 或A BC A B C AB C ABC? 至 少 有 一 個 不 發(fā) 生 ( 最 多 有 兩 個 發(fā) 生 ) ：A B C A B C??A BC A B C AB C A B C A B C A B C A B C17 167。 ? ? ? ? A 1 0 1 0 , 1 1 , 1 2 , ,AAS? ? ? ?記 至 少 有 人 候 車為 隨 機 事 件 ， 可 能 發(fā) 生 ， 也 可 能 不 發(fā) 生 。 2 樣本空間 2022/2/16 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 2 課程相關(guān) ? 課件 校外： 校內(nèi)： 帳號及密碼均為 wgzstu ? 作業(yè) 每周交一次，由助教批閱，平時成績（ 20～ 30%）依據(jù) ? 答疑 時間：第二周起的每周六上午 8:30～ 10:50 地點：東 1B東 2間長廊東 2－ 205 （教師休息室） ? 聯(lián)系 任課教師： 助教教師：李曉明 , 3 ?第一章 概率論的基本概念 ? 隨機試驗 ? 樣本空間 ? 概率和頻率 ? 等可能概型（古典概型） ? 條件概率 ? 獨立性 ?第二章 隨機變量及其分布 ? 隨機變量 ? 離散型隨機變量及其分布 ? 隨機變量的分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 ? 隨機變量的函數(shù)的分布 ?第三章 多維隨機變量及其分布 ? 二維隨機變量 ? 邊緣分布 ? 條件分布 ? 相互獨立的隨機變量 ? 兩個隨機變量的函數(shù)的分布 4 ?第四章 隨機變量的數(shù)字特征 ? 數(shù)學(xué)期望 ? 方差 ? 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) ? 矩、協(xié)方差矩陣 ?第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 ? 大數(shù)定律 ? 中心極限定理 5 關(guān)鍵詞： 隨機現(xiàn)象 隨機試驗 樣本空間 隨機事件 頻率和概率 條件概率 事件的獨立性 第一章 概率論的基本概念 6 167。 隨機事件 (一 )樣本空間 定義：隨機試驗 E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為 E的 樣本空 間 ，記為 S={e}， 稱 S中的元素 e為 樣本點 ，一個元素的單點集稱為 基本事件 ． S={0,1,2,?} S={正面，反面 } S={ x|a≤x≤b } ?某公交站每天 10時候車人數(shù) ?記錄一批產(chǎn)品的壽命 x 例： ? 一枚硬幣拋一次 ?一口袋中有 10個大小相同的球，其編號為1～ 10，若取一球后，放回，再取一球，則取球情況如何？ S={(i,j)|i,j=1,2, ?10} 9 (二 ) 隨機事件 一般我們稱 S的子集 A為 E的 隨機事件 A，當(dāng)且僅當(dāng) A所包含的一個樣本點發(fā)生稱事件 A發(fā)生。10 例： ?記 A={明天天晴 }， B={明天無雨 } ?記 A={至少有 10人候車 }， B={至少有 5人候車 } ?一枚硬幣拋兩次， A={第一次是正面 }， B={至少有一次正面 } 2 ABAB BA??? ? ??＝1 A B A B??： 事 件 發(fā) 生 一 定 導(dǎo) 致 發(fā) 生 ( 韋 恩 圖 )BA??BA??BA??S A B (三 ) 事件的關(guān)系及運算 ? 事件的關(guān)系（包含、相等） 11 事件的關(guān)系 { | }A B x x A x B A B? ? ? ?或 ： 與 至少有一發(fā)生。 3 頻率與概率 (一 )頻率 定義：記 其中 — A發(fā)生的次數(shù) (頻數(shù) )； n— 總試驗次 數(shù)。 。 2 ( ) 1PS ?。 15 290 3?? ? ? ? ? ? ? ?3 , , ?P A B P A B P A r P B? ? ?例 ： 已 知 則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1P A B P A B P A B P A P B P A B? ? ? ? ? ? ? ?解 ：? ? ? ? ? ? ? ?1=P A P B P A B P A B???由 已 知 ：? ? ? ?11P B P A r? ? ? ? ? 2 3B??解 ： 設(shè) A 任 取 的 數(shù) 能 被 整 除 任 取 的 數(shù) 能 被 整 除 991 6 1 7 1 ~ 9 66??（ ， 中 有 一 個 ）27 例 4：某團體舉行趣味運動，設(shè)有三個項目 A、 B、 C，參加 A、 B、 C項目者的比例分別為 45%、 35%、 30%，同時參加 AB、 AC、 BC、 ABC的占總?cè)藬?shù)的 10%、 8%、 5%和 3%，求 （ 1）只參加 A和 B項目人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例 （ 2）只參加 A項目人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例 （ 3）只參加一個項目人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例 解：設(shè)用 A、 B、 C表示參加相應(yīng)項目的事件 ? ?( 2 ) P A B C ? ? ?P A B C?? ( ) ( ( ) )P A P A B C?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?4 5 % 1 0 % 8 % 3 % 3 0 %P A P A B P A C P A B C? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?(1 ) P A B C?? ? ? ? ? 1 0 % 3 % 7 %P A B P A B C? ? ? ?? ?( 3 ) P A B C A B C A B C ?? ? ? ? ? ? 3 0 % 2 3 % 2 0 % 7 3 %P A B C P A B C P A B C? ? ? ? ? ?以上均可畫圖直接得到。 30 注意判斷等可能概型的兩個條件 E1：拋兩枚硬幣，觀察正反面情況 E2：拋兩枚硬幣，觀察正面向上數(shù) S1={正正，正反，反正，反反 } S2={0， 1， 2} 可見，兩者樣本空間中樣本點均有限 S1中的 4個樣本點是等可能發(fā)生的，易知為 1/4 S2中的 3個樣本點發(fā)生的可能性是不同的，其中“ 1”發(fā)生的概率為 2/4 31 例 1：一袋中有 8個球，其中 3個為紅球， 5個為白球，求任取一球是紅球（ A）的概率。 解 ： 樣 本 空 間 中 樣 本 點 的 計 算 。 k =1,2,… ,a+b． 解 1： kA k a b n? ? ?設(shè) “ 第 個 人 取 到 紅 球 ” 記① ② … n ① —— a , , , ,12 kn???? ???① ② … n ( 1 ) !()( ) !ka a b aPAa b a b??????號球為紅球，將 n個人也編號為 1,2,?, n． 與 k無關(guān) 可設(shè)想將 n個球進行編號： 其中 視 的任一排列為一個樣本點，每點出現(xiàn)的概率 相等。求第 1次摸到紅球條件下第 2次摸到紅球的概率。 條件概率的計算有兩種方法 1. 樣本空間改變法，直接計算 2. 利用定義公式， P(AB)/P(A) 如前例中， ? ? a a 1，P A B = a + b a + b 1? ? aP A = a + b( ) 1()( ) 1P A B aP B AP A a b?? ? ???41 解：設(shè) A=“所取 13張牌中至少有一張紅桃”， Ｂ =“所取 13張牌中恰有兩張紅桃” ? ? ? ?? ?P A BP B A PA?寫 難 慮由 于 直 接 出 所 求 概 率 有 度 ， 考 用 公 式 ：例：從一副 52張的撲克牌中任取 13張，若已知這 13張牌中已知至少有一紅桃，問恰有兩張紅桃的概率多少？ ? ?PA ?其 中 ， 133913521CC?2 1113 391352CCC? ? ?P A B ?那 么 ，? ? ?